Номер 705, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

705. Диаметр шара является осью цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой 6 см. Найдите площадь части поверхности цилиндра, находящейся внутри шара.

По условию задачи, нам дан цилиндр и шар. Определим их параметры и взаимное расположение.

1. Параметры цилиндра:

• Радиус основания: $r_{цил} = 5$ см.
• Высота: $h_{цил} = 6$ см.

2. Параметры шара:

• Диаметр шара является осью цилиндра. Длина оси цилиндра равна его высоте. Следовательно, диаметр шара $D_{шара} = h_{цил} = 6$ см.
• Радиус шара: $R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

3. Взаимное расположение:

Ось цилиндра совпадает с диаметром шара. Это означает, что центры шара и цилиндра совпадают. Для удобства разместим их центр в начале координат (0, 0, 0), а ось направим вдоль оси $z$.

• Шар задается неравенством $x^2 + y^2 + z^2 \leq R_{шара}^2$, то есть $x^2 + y^2 + z^2 \leq 3^2 = 9$.
• Цилиндр ограничен поверхностями:
  • Боковая поверхность: $x^2 + y^2 = r_{цил}^2 = 5^2 = 25$, при $-3 \leq z \leq 3$.
  • Верхнее основание: $x^2 + y^2 \leq 25$, при $z = 3$.
  • Нижнее основание: $x^2 + y^2 \leq 25$, при $z = -3$.

4. Нахождение площади части поверхности цилиндра внутри шара:

Нам нужно найти площадь тех частей поверхности цилиндра, которые удовлетворяют условию нахождения внутри шара: $x^2 + y^2 + z^2 \leq 9$. Рассмотрим каждую часть поверхности цилиндра отдельно.

a) Боковая поверхность цилиндра:

Для любой точки на боковой поверхности цилиндра выполняется равенство $x^2 + y^2 = 25$. Подставим это в неравенство для шара:

$25 + z^2 \leq 9$

$z^2 \leq 9 - 25$

$z^2 \leq -16$

Это неравенство не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это означает, что ни одна точка боковой поверхности цилиндра не находится внутри шара. Площадь этой части равна 0.

b) Верхнее основание цилиндра:

Верхнее основание лежит в плоскости $z = 3$ и представляет собой круг $x^2 + y^2 \leq 25$. Найдем, какая часть этого круга лежит внутри шара, подставив $z=3$ в неравенство шара:

$x^2 + y^2 + 3^2 \leq 9$

$x^2 + y^2 + 9 \leq 9$

$x^2 + y^2 \leq 0$

Это неравенство выполняется только для одной точки — начала координат на этой плоскости, $(0, 0)$. Таким образом, из всего верхнего основания только его центральная точка находится внутри шара. Площадь одной точки равна 0.

c) Нижнее основание цилиндра:

Нижнее основание лежит в плоскости $z = -3$ и представляет собой круг $x^2 + y^2 \leq 25$. Аналогично, подставим $z=-3$ в неравенство шара:

$x^2 + y^2 + (-3)^2 \leq 9$

$x^2 + y^2 + 9 \leq 9$

$x^2 + y^2 \leq 0$

Это неравенство также выполняется только для точки $(0, 0)$ в плоскости $z=-3$. Площадь этой части также равна 0.

5. Итоговая площадь:

Суммарная площадь части поверхности цилиндра, находящейся внутри шара, равна сумме площадей найденных частей:

$S = S_{боковой} + S_{верхнего} + S_{нижнего} = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0 \text{ см}^2$.