Номер 700, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

700. Шар с радиусом 6 см вписан в усеченный конус с образующей 15 см. Найдите длину линии, по которой шар касается конуса.

Задача состоит в том, чтобы найти длину окружности, по которой вписанный шар касается боковой поверхности усеченного конуса. Для решения рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, а сечение вписанного шара — большой круг этого шара, который вписан в трапецию.

Обозначим радиус шара как $R_ш$. По условию, $R_ш = 6$ см. Радиус вписанной в трапецию окружности равен радиусу шара. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, следовательно: $h = 2R_ш = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Боковые стороны трапеции равны образующей усеченного конуса, то есть $l = 15$ см. Пусть радиусы верхнего и нижнего оснований конуса равны $r_1$ и $r_2$ соответственно ($r_2 > r_1$). Тогда основания трапеции равны $2r_1$ и $2r_2$.

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $2r_1 + 2r_2 = l + l = 2l$ $r_1 + r_2 = l = 15$ см.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это боковая сторона трапеции $l$, один катет — высота трапеции $h$, а второй катет равен разности радиусов оснований $(r_2 - r_1)$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$ $15^2 = 12^2 + (r_2 - r_1)^2$ $225 = 144 + (r_2 - r_1)^2$ $(r_2 - r_1)^2 = 225 - 144 = 81$ $r_2 - r_1 = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} r_1 + r_2 = 15 \\ r_2 - r_1 = 9 \end{cases} $$ Сложив эти два уравнения, получим: $2r_2 = 24 \implies r_2 = 12$ см. Тогда $r_1 = 15 - r_2 = 15 - 12 = 3$ см.

Линия, по которой шар касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Найдем радиус этой окружности, обозначим его $r_к$. В осевом сечении этот радиус представляет собой расстояние от точки касания окружности и боковой стороны трапеции до оси симметрии трапеции.

Расположим центр шара (и вписанной окружности) в начале координат $(0, 0)$. Ось симметрии трапеции будет совпадать с осью $Oy$. Тогда вершины одной из боковых сторон трапеции будут иметь координаты $A(r_1, R_ш) = (3, 6)$ и $B(r_2, -R_ш) = (12, -6)$.

Точка касания $K(x_K, y_K)$ — это основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности (начала координат) на прямую, содержащую боковую сторону. Вектор нормали к этой прямой будет коллинеарен радиус-вектору $\vec{OK}$. Уравнение прямой, проходящей через точки $A(3, 6)$ и $B(12, -6)$, можно записать как $4x + 3y - 30 = 0$. Вектор нормали к этой прямой равен $\vec{n} = (4, 3)$.

Координаты точки касания $K$ пропорциональны координатам вектора нормали, а расстояние от начала координат до точки $K$ равно радиусу шара $R_ш = 6$. Пусть $K = (4c, 3c)$. Тогда расстояние $|\vec{OK}| = \sqrt{(4c)^2 + (3c)^2} = \sqrt{16c^2 + 9c^2} = \sqrt{25c^2} = 5|c|$. $5|c| = 6 \implies |c| = \frac{6}{5}$. Так как точка касания находится в первом квадранте, $c = \frac{6}{5}$.

Радиус окружности касания $r_к$ равен абсциссе точки $K$: $r_к = x_K = 4c = 4 \cdot \frac{6}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Длина линии касания $L$ — это длина окружности с радиусом $r_к$: $L = 2\pi r_к = 2\pi \cdot 4.8 = 9.6\pi$ см.

Ответ: $9.6\pi$ см.