Номер 696, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

696. В конус с радиусом основания 15 см вписан шар. Найдите его радиус, учитывая, что линия касания имеет длину $6\pi$ см.

Пусть $R$ – радиус основания конуса, $H$ – его высота, $L$ – образующая, а $r$ – радиус вписанного шара. По условию, радиус основания конуса $R = 15$ см.

Линия касания шара и боковой поверхности конуса представляет собой окружность. Длина этой окружности по условию равна $6\pi$ см. Пусть радиус этой окружности равен $r_k$. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r_k$. $2\pi r_k = 6\pi$ $r_k = 3$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара – вписанная в него окружность. Пусть $S$ – вершина конуса, $O_c$ – центр основания, а $A$ – точка на окружности основания. Тогда $\triangle SO_cA$ – прямоугольный треугольник, где $SO_c=H$, $O_cA=R=15$, $SA=L$.

Вписанный шар касается образующей $SA$ в некоторой точке $K$. Окружность касания (радиусом $r_k$) образуется при вращении точки $K$ вокруг оси конуса $SO_c$. Таким образом, расстояние от точки $K$ до оси $SO_c$ равно $r_k = 3$ см.

Проведем перпендикуляр из точки $K$ к высоте $SO_c$ и обозначим его основание $O_k$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle SKO_k$. Этот треугольник подобен $\triangle SAO_c$ по общему острому углу при вершине $S$. Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $\frac{KO_k}{AO_c} = \frac{SK}{SA}$ Подставляя известные значения, $KO_k = r_k = 3$ см, $AO_c = R = 15$ см, $SA = L$: $\frac{3}{15} = \frac{SK}{L}$ $\frac{1}{5} = \frac{SK}{L} \implies SK = \frac{L}{5}$

Теперь воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. В осевом сечении мы имеем вписанную окружность. Отрезки касательных, проведенных из вершины $A$ к этой окружности, равны. Точками касания являются точка $K$ на образующей $SA$ и точка $O_c$ на диаметре основания. Следовательно: $AK = AO_c = R = 15$ см.

Длина образующей $L$ равна сумме длин отрезков $SK$ и $AK$: $L = SA = SK + AK$ Подставим полученные выражения: $L = \frac{L}{5} + 15$ $L - \frac{L}{5} = 15$ $\frac{4L}{5} = 15$ $L = \frac{15 \cdot 5}{4} = \frac{75}{4}$ см.

Зная образующую $L$ и радиус основания $R$, найдем высоту конуса $H$ по теореме Пифагора из треугольника $\triangle SAO_c$: $H^2 = L^2 - R^2 = \left(\frac{75}{4}\right)^2 - 15^2 = \frac{5625}{16} - 225 = \frac{5625 - 225 \cdot 16}{16} = \frac{5625 - 3600}{16} = \frac{2025}{16}$ $H = \sqrt{\frac{2025}{16}} = \frac{45}{4}$ см.

Радиус шара, вписанного в конус, можно найти по формуле, связывающей его с параметрами конуса: $r = \frac{R \cdot H}{L + R}$ Подставим известные и вычисленные значения: $r = \frac{15 \cdot \frac{45}{4}}{\frac{75}{4} + 15} = \frac{\frac{675}{4}}{\frac{75 + 60}{4}} = \frac{\frac{675}{4}}{\frac{135}{4}} = \frac{675}{135} = 5$ см.

Ответ: 5 см.