Номер 691, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

691. Центр шара совпадает с центром основания правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом при вершине в $30^\circ$. Найдите длину линии, по которой пересекаются пирамида и шар, учитывая, что его радиус равен $R$.

Линия пересечения поверхности шара и поверхности пирамиды состоит из четырех симметричных дуг, по одной на каждой боковой грани пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABCD$ — её квадратное основание. Центр шара $O$ совпадает с центром основания. Радиус шара равен $R$. Плоский угол при вершине пирамиды, например, $\angle ASB$, равен $30^\circ$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Пересечение шара с плоскостью каждой боковой грани представляет собой окружность. Линия пересечения на самой грани является дугой этой окружности. Все четыре дуги, образующие искомую линию, одинаковы из-за симметрии задачи.

Длина этой линии пересечения, что является нетривиальным фактом, не зависит от размеров самой пирамиды (например, от длины её бокового ребра или высоты), а определяется только радиусом шара $R$ и плоским углом при вершине $\alpha$.

Для правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом при вершине $\alpha$ и шара радиуса $R$, центр которого совпадает с центром основания пирамиды, общая длина линии их пересечения $L$ вычисляется по формуле:

$L = \frac{2\pi R \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2 + \pi/4)}$

В условиях нашей задачи дано:

• Радиус шара: $R$
• Плоский угол при вершине: $\alpha = 30^\circ$

Подставим значение $\alpha$ в формулу. Сначала найдем значения для углов:

$\alpha/2 = 30^\circ / 2 = 15^\circ$

$\alpha/2 + \pi/4 = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ$

Теперь подставим эти значения в формулу длины:

$L = \frac{2\pi R \sin(15^\circ)}{\cos(60^\circ)}$

Нам известны значения $\cos(60^\circ)$ и формула для $\sin(15^\circ)$:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Для нахождения $\sin(15^\circ)$ используем формулу половинного угла или разности углов:

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим все найденные значения обратно в формулу для $L$:

$L = \frac{2\pi R \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)}{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение:

$L = 2 \cdot 2\pi R \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right) = 4\pi R \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \pi R (\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Таким образом, длина линии, по которой пересекаются пирамида и шар, равна $\pi R (\sqrt{6}-\sqrt{2})$.

Ответ: $ \pi R (\sqrt{6}-\sqrt{2}) $.