Номер 695, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

695. Шар с радиусом $R$ касается плоскости основания конуса и разделяет каждую его образующую на три доли (рис. 224). Найдите объем конуса.

Рис. 224

Обозначим радиус основания конуса через $r$, высоту конуса через $H$ и длину образующей через $L$. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с основанием $2r$, высотой $H$ и боковыми сторонами $L$. Сечением шара является круг радиуса $R$.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O'$ — центр его основания, $A$ — точка на окружности основания. Тогда $SO' = H$, $O'A = r$, $SA = L$. По теореме Пифагора для треугольника $SO'A$ имеем: $L^2 = H^2 + r^2$.

Центр шара $O$ лежит на оси конуса $SO'$. Поскольку шар касается плоскости основания конуса, расстояние от его центра до этой плоскости равно радиусу шара $R$. Таким образом, $OO' = R$. Расстояние от вершины конуса до центра шара равно $SO = SO' - OO' = H - R$.

По условию, шар делит каждую образующую на три равные части. Пусть точки $P$ и $Q$ — это точки пересечения шара с образующей $SA$, причем точка $P$ находится ближе к вершине $S$. Тогда $SP = PQ = QA = \frac{L}{3}$.

Для нахождения связи между $L$, $H$, $r$ и $R$ воспользуемся теоремой о степени точки относительно окружности (в нашем случае — сечения шара).

1. Степень точки S (вершины конуса) относительно окружности:

С одной стороны, степень точки $S$ равна произведению длин отрезков секущей: $SP \cdot SQ = \frac{L}{3} \cdot (\frac{L}{3} + \frac{L}{3}) = \frac{L}{3} \cdot \frac{2L}{3} = \frac{2L^2}{9}$.

С другой стороны, степень точки $S$ равна квадрату длины касательной из этой точки к окружности. Длина касательной в квадрате равна $SO^2 - R^2$.$SO^2 - R^2 = (H-R)^2 - R^2 = H^2 - 2HR + R^2 - R^2 = H(H-2R)$.

Приравнивая два выражения для степени точки $S$, получаем первое уравнение:

$\frac{2L^2}{9} = H(H-2R)$

2. Степень точки A (на окружности основания) относительно окружности:

С одной стороны, степень точки $A$ равна произведению длин отрезков секущей: $AQ \cdot AP = \frac{L}{3} \cdot (\frac{L}{3} + \frac{L}{3}) = \frac{L}{3} \cdot \frac{2L}{3} = \frac{2L^2}{9}$.

С другой стороны, степень точки $A$ равна $AO^2 - R^2$. Длину отрезка $AO$ найдем из прямоугольного треугольника $OO'A$, где $OO' = R$ и $O'A = r$. По теореме Пифагора, $AO^2 = OO'^2 + O'A^2 = R^2 + r^2$. Тогда степень точки $A$ равна $(R^2 + r^2) - R^2 = r^2$.

Приравнивая два выражения для степени точки $A$, получаем второе уравнение:

$r^2 = \frac{2L^2}{9}$

3. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $L^2 = H^2 + r^2$
2. $\frac{2L^2}{9} = H(H-2R)$
3. $r^2 = \frac{2L^2}{9}$

Из уравнений (2) и (3) следует, что $r^2 = H(H-2R)$.

Из уравнения (3) выразим $L^2$: $L^2 = \frac{9}{2}r^2$.

Подставим это выражение для $L^2$ в уравнение (1):

$\frac{9}{2}r^2 = H^2 + r^2$

$\frac{7}{2}r^2 = H^2 \implies r^2 = \frac{2}{7}H^2$

Теперь приравняем два полученных выражения для $r^2$:

$H(H-2R) = \frac{2}{7}H^2$

Поскольку высота конуса $H \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $H$:

$H - 2R = \frac{2}{7}H$

$H - \frac{2}{7}H = 2R$

$\frac{5}{7}H = 2R \implies H = \frac{14}{5}R$

Теперь найдем $r^2$, подставив найденное значение $H$:

$r^2 = \frac{2}{7}H^2 = \frac{2}{7}\left(\frac{14}{5}R\right)^2 = \frac{2}{7} \cdot \frac{196}{25}R^2 = \frac{2 \cdot 28}{25}R^2 = \frac{56}{25}R^2$

4. Вычисление объема конуса:

Подставим найденные значения $H$ и $r^2$ в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{56}{25}R^2\right) \left(\frac{14}{5}R\right) = \frac{\pi}{3} \frac{56 \cdot 14}{25 \cdot 5} R^3 = \frac{\pi}{3} \frac{784}{125} R^3 = \frac{784\pi R^3}{375}$

Ответ: $V = \frac{784\pi R^3}{375}$.