Номер 694, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

694. Высота конуса является диаметром шара, поверхность которого разделяет боковую поверхность конуса пополам. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

Пусть $H$ – высота конуса, $R$ – радиус его основания, $L$ – образующая. Пусть $r$ – радиус шара.

По условию задачи высота конуса является диаметром шара, следовательно:$H = 2r$, или $r = \frac{H}{2}$.

Объем конуса вычисляется по формуле:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Объем шара вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{H}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{H^3}{8} = \frac{1}{6}\pi H^3$.

Найдем отношение объемов:$\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi R^2 H}{\frac{1}{6}\pi H^3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{R^2 H}{H^3} = \frac{2R^2}{H^2}$. Для нахождения ответа необходимо найти соотношение между $R$ и $H$.

По условию, поверхность шара делит боковую поверхность конуса пополам. Боковая поверхность конуса равна $S_{бок} = \pi R L$. Линия пересечения поверхности шара и боковой поверхности конуса – это окружность, которая является основанием меньшего конуса, подобного исходному. Вершина у них общая.

Площадь боковой поверхности меньшего конуса $S_{мал}$ составляет половину площади боковой поверхности исходного конуса: $S_{мал} = \frac{1}{2}S_{бок}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Если $l$ – образующая малого конуса, а $L$ – образующая большого, то:$\frac{S_{мал}}{S_{бок}} = \left(\frac{l}{L}\right)^2 = \frac{1}{2}$,откуда $l = \frac{L}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Это равнобедренный треугольник с вписанным в него (касающимся основания в центре и пересекающим боковые стороны) кругом. Пусть вершина конуса – точка $S$, центр основания – $O$, точка на окружности основания – $A$. Тогда $SO=H$, $OA=R$, $SA=L$. Центр шара $C$ находится на середине высоты $SO$, так как $H=2r$. Таким образом, $SC = r$. Точка пересечения сферы и образующей конуса (в сечении – точка $M$ на стороне $SA$) находится на расстоянии $l$ от вершины $S$. То есть $SM = l$. Поскольку точка $M$ лежит на поверхности шара, расстояние от нее до центра шара $C$ равно радиусу шара $r$. То есть $CM=r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SCM$. Он равнобедренный, так как $SC = CM = r$. Длина стороны $SM = l = \frac{L}{\sqrt{2}}$. Угол при вершине $S$ этого треугольника, $\angle CSO$, равен углу $\alpha$ при вершине осевого сечения конуса. Из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ имеем: $\cos \alpha = \frac{SO}{SA} = \frac{H}{L}$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle SCM$:$CM^2 = SC^2 + SM^2 - 2 \cdot SC \cdot SM \cdot \cos \alpha$. Подставим известные значения:$r^2 = r^2 + \left(\frac{L}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2 \cdot r \cdot \frac{L}{\sqrt{2}} \cdot \frac{H}{L}$.

Упростим уравнение:$0 = \frac{L^2}{2} - \frac{2rH}{\sqrt{2}}$.$\frac{L^2}{2} = \frac{2rH}{\sqrt{2}}$.$L^2 = \frac{4rH}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}rH$. Заменим $r = \frac{H}{2}$:$L^2 = 2\sqrt{2}\left(\frac{H}{2}\right)H = \sqrt{2}H^2$.

С другой стороны, из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ по теореме Пифагора:$L^2 = R^2 + H^2$. Приравнивая два выражения для $L^2$, получаем:$\sqrt{2}H^2 = R^2 + H^2$.$R^2 = \sqrt{2}H^2 - H^2 = (\sqrt{2}-1)H^2$.

Теперь мы можем найти искомое отношение объемов:$\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{2R^2}{H^2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)H^2}{H^2} = 2(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$.