Номер 712, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

712. Радиус шара равен 25 дм. Радиус одного из оснований шарового слоя равен 15 дм. Боковая поверхность этого слоя равна $1350\pi$ дм². Найдите его объем.

Для решения задачи воспользуемся формулами для шарового слоя. Пусть $R$ — радиус шара, $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований шарового слоя, $h$ — его высота.

1. Нахождение высоты шарового слоя.

Площадь боковой поверхности шарового слоя (сферического пояса) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R h$.

По условию, радиус шара $R = 25$ дм, а боковая поверхность $S_{бок} = 1350\pi$ дм². Подставим эти значения в формулу и найдем высоту $h$:

$1350\pi = 2\pi \cdot 25 \cdot h$

$1350\pi = 50\pi h$

$h = \frac{1350\pi}{50\pi} = 27$ дм.

2. Нахождение радиуса второго основания.

Шаровой слой ограничен двумя параллельными плоскостями. Расстояние от центра шара до плоскости основания ($d$) связано с радиусом шара ($R$) и радиусом основания ($r$) по теореме Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Найдем расстояние от центра шара до первого основания ($d_1$), радиус которого $r_1 = 15$ дм:

$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ дм.

Высота слоя $h = 27$ дм — это расстояние между двумя плоскостями. Так как $h = 27$ дм больше, чем расстояние $d_1 = 20$ дм, это означает, что основания слоя лежат по разные стороны от центра шара. Следовательно, расстояние от центра до второго основания ($d_2$) можно найти как разность высоты слоя и расстояния до первого основания:

$d_2 = h - d_1 = 27 - 20 = 7$ дм.

Теперь найдем радиус второго основания ($r_2$), используя ту же теорему Пифагора:

$r_2 = \sqrt{R^2 - d_2^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ дм.

3. Нахождение объема шарового слоя.

Объем шарового слоя вычисляется по формуле:

$V_{слоя} = \frac{1}{6} \pi h (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$

Подставим известные значения: $h = 27$ дм, $r_1 = 15$ дм, $r_2 = 24$ дм.

$V_{слоя} = \frac{1}{6} \pi \cdot 27 \cdot (3 \cdot 15^2 + 3 \cdot 24^2 + 27^2)$

$V_{слоя} = \frac{9}{2} \pi \cdot (3 \cdot 225 + 3 \cdot 576 + 729)$

$V_{слоя} = \frac{9}{2} \pi \cdot (675 + 1728 + 729)$

$V_{слоя} = \frac{9}{2} \pi \cdot (3132)$

$V_{слоя} = 9 \pi \cdot 1566$

$V_{слоя} = 14094 \pi$ дм³.

Ответ: $14094\pi$ дм³.