Номер 719, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

719. По радиусу шара $R$ найдите расстояние от его центра до основания вписанного цилиндра, объем которого равен половине объема шарового слоя, заключенного между основаниями цилиндра.

719.

Пусть $R$ — радиус шара. В шар вписан цилиндр. Обозначим искомое расстояние от центра шара до основания цилиндра как $x$. Так как цилиндр вписан в шар, его основания симметричны относительно центра шара, поэтому высота цилиндра $h_ц$ будет равна $2x$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. В сечении мы получим прямоугольник (сечение цилиндра), вписанный в круг (сечение шара). Радиус основания цилиндра $r_ц$, расстояние от центра до основания $x$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r_ц^2 + x^2$

Отсюда радиус основания цилиндра в квадрате равен:

$r_ц^2 = R^2 - x^2$

Объем цилиндра $V_ц$ вычисляется по формуле:

$V_ц = \pi r_ц^2 h_ц = \pi (R^2 - x^2) \cdot 2x$

Шаровой слой, заключенный между основаниями цилиндра, имеет высоту $h_{шс} = h_ц = 2x$. Объем шарового слоя $V_{шс}$ можно найти по формуле:

$V_{шс} = \frac{2}{3}\pi h_{шс} (3R^2 - \frac{1}{4}h_{шс}^2)$

Подставив $h_{шс} = 2x$, получим:

$V_{шс} = \frac{2}{3}\pi (2x) (3R^2 - \frac{1}{4}(2x)^2) = \frac{4}{3}\pi x (3R^2 - \frac{4x^2}{4}) = \frac{4}{3}\pi x (3R^2 - x^2)$

По условию задачи, объем цилиндра равен половине объема шарового слоя:

$V_ц = \frac{1}{2} V_{шс}$

Подставим выражения для объемов:

$\pi (R^2 - x^2) \cdot 2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi x (3R^2 - x^2)$

Сократим обе части уравнения на $2\pi x$ (так как $x \ne 0$ и $\pi \ne 0$):

$R^2 - x^2 = \frac{1}{3}(3R^2 - x^2)$

Умножим обе части на 3:

$3(R^2 - x^2) = 3R^2 - x^2$

$3R^2 - 3x^2 = 3R^2 - x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону, а с $R^2$ в другую. Члены $3R^2$ взаимно уничтожаются, что неверно. Проверим вычисления.

Давайте вернемся к предыдущему шагу:

$3(R^2 - x^2) = 3R^2 - x^2$

$3R^2 - 3x^2 = 3R^2 - x^2$

$-3x^2 = -x^2$

$2x^2 = 0$, что дает $x=0$, что невозможно.

Проверим формулу для объема шарового слоя.

Альтернативная формула для объема шарового слоя, симметричного относительно центра, высотой $2x$:

$V_{шс} = \int_{-x}^{x} \pi (R^2 - t^2) dt = \pi [R^2t - \frac{t^3}{3}]_{-x}^{x} = \pi ((R^2x - \frac{x^3}{3}) - (R^2(-x) - \frac{(-x)^3}{3})) = \pi (R^2x - \frac{x^3}{3} + R^2x - \frac{x^3}{3}) = 2\pi (R^2x - \frac{x^3}{3}) = \frac{2}{3}\pi x (3R^2 - x^2)$.

Моя первая формула для шарового слоя была неверной. Вернемся к уравнению с правильной формулой:

$V_ц = \pi (R^2 - x^2) \cdot 2x$

$V_{шс} = \frac{2}{3}\pi x (3R^2 - x^2)$

Условие: $V_ц = \frac{1}{2} V_{шс}$

$\pi (R^2 - x^2) \cdot 2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\pi x (3R^2 - x^2)$

Сократим на $\pi x$:

$2(R^2 - x^2) = \frac{1}{3}(3R^2 - x^2)$

Умножим обе части на 3:

$6(R^2 - x^2) = 3R^2 - x^2$

$6R^2 - 6x^2 = 3R^2 - x^2$

$6R^2 - 3R^2 = 6x^2 - x^2$

$3R^2 = 5x^2$

$x^2 = \frac{3}{5}R^2$

$x = \sqrt{\frac{3}{5}R^2} = R\sqrt{\frac{3}{5}} = R\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = R\frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = \frac{R\sqrt{15}}{5}$

Ответ: $\frac{R\sqrt{15}}{5}$