Номер 723, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

723. Докажите, что если у шарового сектора осевое сечение образует $\frac{1}{3}$ круга, то объем этого сектора равен $\frac{1}{4}$ объема шара.

Пусть $R$ — радиус шара, из которого вырезан шаровой сектор.

Объем шара вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Объем шарового сектора определяется формулой:$V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$,где $h$ — высота соответствующего шарового сегмента (шапочки).

Осевое сечение шара — это круг радиуса $R$, его площадь равна $S_{круга} = \pi R^2$. Осевое сечение шарового сектора — это сектор этого круга. По условию задачи, площадь этого сектора $S_{сечения}$ составляет $\frac{1}{3}$ площади круга:$S_{сечения} = \frac{1}{3} S_{круга} = \frac{1}{3}\pi R^2$.

Площадь сектора круга также можно выразить через его центральный угол $\alpha$ (в радианах):$S_{сечения} = \frac{\alpha R^2}{2}$.

Приравняем два выражения для площади сечения, чтобы найти угол $\alpha$:$\frac{\alpha R^2}{2} = \frac{1}{3}\pi R^2$. Сократив $R^2$ с обеих сторон, получим:$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3} \implies \alpha = \frac{2\pi}{3}$ радиан, что соответствует $120^{\circ}$.

Этот угол $\alpha$ является углом при вершине конуса, образующего сектор. Высота шарового сегмента $h$ связана с радиусом шара $R$ и половиной угла $\alpha$ следующим соотношением:$h = R - R\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Подставим значение $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3}$ (или $60^{\circ}$):$h = R - R\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = R - R \cdot \frac{1}{2} = R\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{R}{2}$.

Теперь, зная высоту $h$, мы можем вычислить объем шарового сектора:$V_{сектора} = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi R^2 \left(\frac{R}{2}\right) = \frac{2\pi R^3}{6} = \frac{1}{3}\pi R^3$.

Наконец, найдем отношение объема шарового сектора к объему всего шара:$\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.

Сократив общие множители $(\frac{1}{3}\pi R^3)$, получаем:$\frac{V_{сектора}}{V_{шара}} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, $V_{сектора} = \frac{1}{4}V_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.