Номер 716, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

716. Диаметр шара, равный $30$ дм, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен $12$ дм (рис. 228). Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

Рис. 228

По условию задачи дан шар с диаметром $D = 30$ дм и цилиндр с радиусом основания $r = 12$ дм. Диаметр шара служит осью цилиндра. Требуется найти объем части шара, заключенной внутри цилиндра.

1. Нахождение радиуса шара и параметров искомой фигуры
Радиус шара $R$ равен половине его диаметра:$R = \frac{D}{2} = \frac{30}{2} = 15$ дм. Часть шара, находящаяся внутри цилиндра, представляет собой шаровой слой. Найдем расстояние от центра шара до оснований этого слоя. В осевом сечении мы видим круг (сечение шара) и прямоугольник (сечение цилиндра). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом цилиндра $r$ (катет) и расстоянием $d$ от центра шара до основания шарового слоя (второй катет). По теореме Пифагора:$d^2 + r^2 = R^2$
$d^2 + 12^2 = 15^2$
$d^2 + 144 = 225$
$d^2 = 225 - 144 = 81$
$d = \sqrt{81} = 9$ дм.
Таким образом, основания шарового слоя находятся на расстоянии $9$ дм от центра шара.

2. Вычисление объема
Объем искомой части шара можно найти, вычтя из объема всего шара объемы двух одинаковых шаровых сегментов (или "шапок"), которые отсекаются цилиндром.
Сначала вычислим объем всего шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 = 4 \cdot 1125\pi = 4500\pi \text{ дм}^3$.
Далее найдем объем одного отсекаемого шарового сегмента. Высота каждого сегмента $h_{сегм}$ равна разности радиуса шара $R$ и расстояния $d$ от центра до основания сегмента:
$h_{сегм} = R - d = 15 - 9 = 6$ дм.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сегм} = \pi h_{сегм}^2 (R - \frac{h_{сегм}}{3})$:
$V_{сегм} = \pi \cdot 6^2 (15 - \frac{6}{3}) = 36\pi (15 - 2) = 36\pi \cdot 13 = 468\pi \text{ дм}^3$.
Так как у нас два таких сегмента, их суммарный объем равен $2 \cdot 468\pi = 936\pi \text{ дм}^3$.
Наконец, вычтем объем двух сегментов из объема всего шара, чтобы найти искомый объем $V$:
$V = V_{шара} - 2 \cdot V_{сегм} = 4500\pi - 936\pi = 3564\pi \text{ дм}^3$.

Ответ: $3564\pi$ дм³.