Номер 720, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

720. На рисунке 229 изображена круглая стальная деталь. Найдите ее массу, учитывая, что размеры указаны в миллиметрах, а плотность стали равна $7,8 \text{ г/см}^3$.

Рис. 229

Для того чтобы найти массу стальной детали, необходимо сначала вычислить её объём. Масса $m$ связана с объёмом $V$ и плотностью $\rho$ формулой $m = \rho \cdot V$.

Деталь представляет собой тело вращения, состоящее из трёх частей: левого шарового сегмента ($V_1$), центрального усечённого конуса ($V_2$) и правого шарового сегмента ($V_3$). Общий объём детали будет равен сумме объёмов этих трёх частей: $V = V_1 + V_2 + V_3$.

1. Определение параметров и перевод единиц измерения

Плотность стали дана: $\rho = 7.8$ г/см³. Размеры на чертеже указаны в миллиметрах, переведём их в сантиметры (1 см = 10 мм):

Для левого шарового сегмента:
Диаметр шара $D_1 = 50$ мм = 5 см, радиус шара $R_1 = 2.5$ см.
Диаметр основания сегмента $d_1 = 30$ мм = 3 см, радиус основания $r_1 = 1.5$ см.

Для усечённого конуса:
Высота $H = 80$ мм = 8 см.
Радиус большего основания $R_{к} = 30/2 = 15$ мм = 1.5$ см.
Радиус меньшего основания $r_{к} = 14/2 = 7$ мм = 0.7$ см.

Для правого шарового сегмента:
Диаметр шара $D_2 = 30$ мм = 3 см, радиус шара $R_2 = 1.5$ см.
Диаметр основания сегмента $d_2 = 14$ мм = 1.4 см, радиус основания $r_2 = 0.7$ см.

2. Вычисление объёма левого шарового сегмента ($V_1$)

Сначала найдём высоту сегмента $h_1$. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара $R_1$, радиусом основания сегмента $r_1$ и отрезком $(R_1 - h_1)$, по теореме Пифагора имеем: $R_1^2 = r_1^2 + (R_1 - h_1)^2$.
$(2.5 - h_1)^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$ см².
$2.5 - h_1 = 2$ см, откуда $h_1 = 0.5$ см.
Объём шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{\text{сег}} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$.
$V_1 = \frac{1}{3}\pi (0.5)^2 (3 \cdot 2.5 - 0.5) = \frac{1}{3}\pi \cdot 0.25 \cdot (7.5 - 0.5) = \frac{1}{3}\pi \cdot 0.25 \cdot 7 = \frac{1.75\pi}{3}$ см³.

3. Вычисление объёма усечённого конуса ($V_2$)

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле $V_{\text{усеч.к.}} = \frac{1}{3}\pi H (R_{к}^2 + R_{к} r_{к} + r_{к}^2)$.
$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot (1.5^2 + 1.5 \cdot 0.7 + 0.7^2) = \frac{8\pi}{3} (2.25 + 1.05 + 0.49) = \frac{8\pi}{3} \cdot 3.79 = \frac{30.32\pi}{3}$ см³.

4. Вычисление объёма правого шарового сегмента ($V_3$)

Аналогично первому сегменту, найдём высоту $h_2$: $(R_2 - h_2)^2 = R_2^2 - r_2^2$.
$(1.5 - h_2)^2 = 1.5^2 - 0.7^2 = 2.25 - 0.49 = 1.76$ см².
$1.5 - h_2 = \sqrt{1.76} \approx 1.327$ см, откуда $h_2 \approx 1.5 - 1.327 = 0.173$ см.
Теперь вычислим объём $V_3$:
$V_3 \approx \frac{1}{3}\pi (0.173)^2 (3 \cdot 1.5 - 0.173) = \frac{1}{3}\pi \cdot 0.0299 \cdot (4.5 - 0.173) = \frac{1}{3}\pi \cdot 0.0299 \cdot 4.327 \approx \frac{0.129\pi}{3}$ см³.

5. Вычисление общего объёма и массы детали

Суммируем объёмы всех частей:
$V = V_1 + V_2 + V_3 \approx \frac{1.75\pi}{3} + \frac{30.32\pi}{3} + \frac{0.129\pi}{3} = \frac{\pi}{3} (1.75 + 30.32 + 0.129) = \frac{32.199\pi}{3}$ см³.
Примем $\pi \approx 3.1416$.
$V \approx \frac{32.199 \cdot 3.1416}{3} \approx 33.719$ см³.
Найдём массу детали:
$m = \rho \cdot V \approx 7.8 \text{ г/см³} \cdot 33.719 \text{ см³} \approx 263.01$ г.
Округлим результат до целого числа.

Ответ: $263$ г.