Номер 725, страница 103 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

725. Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Докажите, что объем полученного тела равен объему шара с диаметром, равным хорде сегмента.

Для доказательства введем систему координат. Пусть центр круга радиуса $R$, из которого взят сегмент, находится в начале координат $(0,0)$. Тогда уравнение этой окружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Пусть диаметр, вокруг которого происходит вращение, совпадает с осью $Ox$.

По условию, хорда, отсекающая сегмент, параллельна этому диаметру. Следовательно, уравнение прямой, содержащей хорду, можно записать как $y = h$, где $h$ — расстояние от центра круга до хорды ($0 \le h < R$).

Найдем длину хорды $L$. Точки пересечения прямой $y=h$ и окружности $x^2 + y^2 = R^2$ являются концами хорды. Подставив $y=h$ в уравнение окружности, получим $x^2 + h^2 = R^2$, откуда $x = \pm\sqrt{R^2 - h^2}$. Таким образом, концы хорды имеют координаты $(-\sqrt{R^2 - h^2}, h)$ и $(\sqrt{R^2 - h^2}, h)$. Длина хорды $L$ равна расстоянию между этими точками:

$L = \sqrt{(\sqrt{R^2 - h^2} - (-\sqrt{R^2 - h^2}))^2 + (h-h)^2} = 2\sqrt{R^2 - h^2}$.

Объем тела, полученного вращением кругового сегмента вокруг оси $Ox$, можно вычислить с помощью интеграла. Тело вращения образуется вращением фигуры, ограниченной сверху дугой окружности $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ и снизу хордой $y = h$, в пределах от $x = -\sqrt{R^2 - h^2}$ до $x = \sqrt{R^2 - h^2}$.

Используем метод "шайб" (washer method) для нахождения объема $V_{тела}$:

$V_{тела} = \pi \int_{-\sqrt{R^2 - h^2}}^{\sqrt{R^2 - h^2}} ((\sqrt{R^2 - x^2})^2 - h^2) dx = \pi \int_{-\sqrt{R^2 - h^2}}^{\sqrt{R^2 - h^2}} (R^2 - x^2 - h^2) dx$

$V_{тела} = \pi \int_{-\sqrt{R^2 - h^2}}^{\sqrt{R^2 - h^2}} ((R^2 - h^2) - x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция является четной, а пределы интегрирования симметричны, интеграл можно упростить:

$V_{тела} = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{R^2 - h^2}} ((R^2 - h^2) - x^2) dx = 2\pi \left[ (R^2 - h^2)x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{R^2 - h^2}}$

$V_{тела} = 2\pi \left( (R^2 - h^2)\sqrt{R^2 - h^2} - \frac{(\sqrt{R^2 - h^2})^3}{3} \right) = 2\pi \left( (R^2 - h^2)^{3/2} - \frac{1}{3}(R^2 - h^2)^{3/2} \right)$

$V_{тела} = 2\pi \cdot \frac{2}{3}(R^2 - h^2)^{3/2} = \frac{4\pi}{3}(R^2 - h^2)^{3/2}$

Вспомним, что длина хорды $L = 2\sqrt{R^2 - h^2}$, откуда $\sqrt{R^2 - h^2} = \frac{L}{2}$. Подставим это в выражение для объема:

$V_{тела} = \frac{4\pi}{3} \left( \frac{L}{2} \right)^3 = \frac{4\pi}{3} \frac{L^3}{8} = \frac{\pi L^3}{6}$

Теперь найдем объем шара, диаметр которого равен хорде сегмента, то есть $D_{шара} = L$. Радиус этого шара $r_{шара} = \frac{L}{2}$.

Объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r_{шара}^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{L}{2} \right)^3 = \frac{4\pi}{3} \frac{L^3}{8} = \frac{\pi L^3}{6}$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $V_{тела} = V_{шара}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.