Номер 729, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

729. Найдите поверхность шара, разделяющего каждое ребро куба, равное $a$, на три доли.

Введем декартову систему координат. Поместим одну из вершин куба в начало координат $O(0, 0, 0)$, а ребра куба, выходящие из этой вершины, направим вдоль координатных осей. В этом случае длина каждого ребра равна $a$. Центр куба будет находиться в точке $C$ с координатами $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

По условию, сфера делит каждое ребро куба на три равные доли. Из симметрии задачи следует, что центр сферы должен совпадать с центром куба. Таким образом, центр сферы находится в точке $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

Чтобы найти радиус сферы $R$, нам нужно вычислить расстояние от ее центра $C$ до любой точки на ее поверхности. В качестве такой точки мы можем взять одну из точек, в которых сфера пересекает ребро куба.

Рассмотрим ребро куба, которое лежит на оси $Ox$. Его концы находятся в точках $(0, 0, 0)$ и $(a, 0, 0)$. Поскольку сфера делит это ребро на три равные части, каждая часть имеет длину $\frac{a}{3}$. Точки пересечения сферы с этим ребром находятся на расстоянии $\frac{a}{3}$ и $\frac{2a}{3}$ от начала координат. Возьмем одну из этих точек, например, точку $P$ с координатами $(\frac{a}{3}, 0, 0)$. Эта точка лежит на поверхности сферы.

Теперь вычислим квадрат радиуса сферы $R^2$ как квадрат расстояния между центром сферы $C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ и точкой на сфере $P(\frac{a}{3}, 0, 0)$:

$R^2 = (\frac{a}{2} - \frac{a}{3})^2 + (\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{a}{2} - 0)^2$

$R^2 = (\frac{3a - 2a}{6})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$

$R^2 = (\frac{a}{6})^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 36, получаем:

$R^2 = \frac{a^2}{36} + \frac{9a^2}{36} + \frac{9a^2}{36} = \frac{(1+9+9)a^2}{36} = \frac{19a^2}{36}$

Площадь поверхности шара (сферы) $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное значение $R^2$:

$S = 4\pi \left(\frac{19a^2}{36}\right) = \frac{4 \cdot 19 \pi a^2}{36} = \frac{19 \pi a^2}{9}$

Ответ: $\frac{19 \pi a^2}{9}$