Номер 730, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

730. Один шар вписан в куб, другой касается трех граней куба и первого шара (рис. 233). Найдите отношение поверхностей этих шаров.

Рис. 233

Для решения задачи введем систему координат и обозначим параметры шаров и куба.

1. Параметры большого шара и куба

Пусть ребро куба равно $a$. Большой шар вписан в куб, это означает, что он касается всех шести граней куба. Его центр совпадает с центром куба, а диаметр равен ребру куба.

Следовательно, радиус большого шара $R$ равен половине ребра куба: $R = \frac{a}{2}$.

Разместим куб в системе координат так, чтобы одна из его вершин находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, а ребра были направлены вдоль положительных полуосей. Тогда центр куба (и центр большого шара $O_1$) будет находиться в точке с координатами $O_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

2. Параметры малого шара

Малый шар касается трех граней куба, сходящихся в одной вершине. Пусть это будет вершина, противоположная началу координат, с координатами $(a, a, a)$. Эти грани задаются уравнениями $x=a$, $y=a$ и $z=a$.

Пусть радиус малого шара равен $r$. Поскольку он касается трех указанных граней, его центр $O_2$ должен быть удален от каждой из этих граней на расстояние $r$. Таким образом, координаты центра малого шара: $O_2(a-r, a-r, a-r)$.

3. Соотношение между радиусами шаров

По условию, шары касаются друг друга. Это означает, что расстояние между их центрами $O_1$ и $O_2$ равно сумме их радиусов: $|O_1O_2| = R+r$.

Найдем расстояние между центрами по формуле расстояния в пространстве: $|O_1O_2| = \sqrt{((a-r) - \frac{a}{2})^2 + ((a-r) - \frac{a}{2})^2 + ((a-r) - \frac{a}{2})^2}$ $|O_1O_2| = \sqrt{3 \cdot (\frac{a}{2} - r)^2} = (\frac{a}{2} - r)\sqrt{3}$

Так как $R = \frac{a}{2}$, то $|O_1O_2| = (R - r)\sqrt{3}$.

Теперь приравняем это выражение к сумме радиусов: $(R - r)\sqrt{3} = R + r$

Выразим $r$ через $R$: $R\sqrt{3} - r\sqrt{3} = R + r$ $R\sqrt{3} - R = r\sqrt{3} + r$ $R(\sqrt{3} - 1) = r(\sqrt{3} + 1)$ $r = R \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю $(\sqrt{3} - 1)$: $r = R \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = R \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = R \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = R(2 - \sqrt{3})$

4. Отношение поверхностей шаров

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi \cdot (\text{радиус})^2$. Площадь поверхности большого шара: $S_1 = 4\pi R^2$. Площадь поверхности малого шара: $S_2 = 4\pi r^2$.

Найдем отношение их поверхностей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = (\frac{R}{r})^2$

Из найденного соотношения радиусов $r = R(2 - \sqrt{3})$ имеем: $\frac{R}{r} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

Теперь найдем отношение площадей: $\frac{S_1}{S_2} = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$.

Если требуется найти обратное отношение (малого шара к большому), то: $\frac{S_2}{S_1} = (\frac{r}{R})^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

Обычно под отношением понимают отношение большей величины к меньшей. Ответ: $7 + 4\sqrt{3}$ или $7 - 4\sqrt{3}$.