Номер 727, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

727. Найдите поверхность шара, вписанного в:

а) куб, площадь поверхности которого равна $S$;

б) правильный тетраэдр, площадь поверхности которого равна $S$;

в) правильный октаэдр, у которого сечение с большей площадью имеет площадь $S$ (рис. 231);

г) цилиндр, квадратное осевое сечение которого имеет площадь $S$;

д) конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник с площадью $S$.

Рис. 231

а) куб, площадь поверхности которого равна S;
Площадь поверхности куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $S_{куба} = 6a^2$. По условию, $S_{куба} = S$, следовательно, $6a^2 = S$, откуда $a^2 = \frac{S}{6}$. Шар, вписанный в куб, имеет диаметр, равный ребру куба, то есть $2r = a$, где $r$ – радиус вписанного шара. Отсюда $r = \frac{a}{2}$. Площадь поверхности вписанного шара $S_{шара} = 4\pi r^2$. Подставим выражение для $r$: $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$. Теперь подставим значение $a^2$, выраженное через $S$: $S_{шара} = \pi \frac{S}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi S}{6}$

б) правильный тетраэдр, площадь поверхности которого равна S;
Правильный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Площадь полной поверхности тетраэдра $S_{тетр} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$. По условию, $S_{тетр} = S$, значит $a^2\sqrt{3} = S$, откуда $a^2 = \frac{S}{\sqrt{3}}$. Радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, связан с ребром формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{6}}$. Тогда $r^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{a^2}{4 \cdot 6} = \frac{a^2}{24}$. Площадь поверхности вписанного шара $S_{шара} = 4\pi r^2$. Подставим выражение для $r^2$: $S_{шара} = 4\pi \frac{a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{6}$. Теперь подставим значение $a^2$, выраженное через $S$: $S_{шара} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{\pi S}{6\sqrt{3}} = \frac{\pi S\sqrt{3}}{18}$.
Ответ: $\frac{\pi S\sqrt{3}}{18}$

в) правильный октаэдр, у которого сечение с большей площадью имеет площадь S (рис. 231);
Сечение правильного октаэдра с наибольшей площадью – это квадрат, проходящий через центр октаэдра, вершины которого совпадают с четырьмя вершинами октаэдра. Сторона этого квадрата равна ребру октаэдра $a$. По условию, площадь этого сечения равна $S$, то есть $a^2 = S$. Радиус шара, вписанного в правильный октаэдр, связан с ребром формулой $r = \frac{a}{\sqrt{6}}$. Тогда $r^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{6}}\right)^2 = \frac{a^2}{6}$. Площадь поверхности вписанного шара $S_{шара} = 4\pi r^2$. Подставим выражение для $r^2$: $S_{шара} = 4\pi \frac{a^2}{6} = \frac{2\pi a^2}{3}$. Подставим значение $a^2=S$: $S_{шара} = \frac{2\pi S}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi S}{3}$

г) цилиндр, квадратное осевое сечение которого имеет площадь S;
Осевое сечение цилиндра является квадратом. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь сечения $S = a^2$. Высота цилиндра $h$ равна стороне квадрата, $h = a$. Диаметр основания цилиндра $D$ также равен стороне квадрата, $D = a$. Шар, вписанный в такой цилиндр, имеет диаметр, равный высоте и диаметру основания цилиндра. То есть, диаметр шара $2r = a$, откуда радиус шара $r = \frac{a}{2}$. Площадь поверхности вписанного шара $S_{шара} = 4\pi r^2$. $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{a^2}{4} = \pi a^2$. Так как $a^2 = S$, то $S_{шара} = \pi S$.
Ответ: $\pi S$

д) конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник с площадью S.
Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. По условию, $S_{тр} = S$, следовательно $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = S$, откуда $a^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$. Основание этого треугольника является диаметром основания конуса, а его боковые стороны – образующими конуса. Центр вписанного в конус шара лежит на его оси и совпадает с центром окружности, вписанной в осевое сечение (равносторонний треугольник). Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Это и есть радиус вписанного шара. Тогда $r^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{4 \cdot 3} = \frac{a^2}{12}$. Площадь поверхности вписанного шара $S_{шара} = 4\pi r^2$. $S_{шара} = 4\pi \frac{a^2}{12} = \frac{\pi a^2}{3}$. Подставим выражение для $a^2$: $S_{шара} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi S}{3\sqrt{3}} = \frac{4\pi S\sqrt{3}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\pi S\sqrt{3}}{9}$