Номер 728, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

728. Найдите отношение поверхностей двух шаров, один из которых описан, а другой вписан в:

а) куб;

б) правильный тетраэдр;

в) правильный октаэдр (рис. 232);

г) цилиндр с квадратным осевым сечением;

д) конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник;

е) правильную $n$-угольную пирамиду с ребром основания $a$ и высотой $H$.

Рис. 232

Обозначим радиус описанного шара как $R$, а вписанного — как $r$. Площадь поверхности шара с радиусом $\rho$ вычисляется по формуле $S = 4\pi\rho^2$. Искомое отношение поверхностей двух шаров равно:

$\frac{S_R}{S_r} = \frac{4\pi R^2}{4\pi r^2} = (\frac{R}{r})^2$

Для решения задачи в каждом случае найдем радиусы $R$ и $r$ и вычислим квадрат их отношения.

а) куб;

Пусть ребро куба равно $a$. Центры вписанного и описанного шаров совпадают с центром куба.

Радиус вписанного шара $r$ равен половине длины ребра куба: $r = \frac{a}{2}$.

Радиус описанного шара $R$ равен половине длины пространственной диагонали куба. Диагональ куба $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Следовательно, $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Отношение площадей поверхностей:

$\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}/2}{a/2}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3.

б) правильный тетраэдр;

Пусть ребро правильного тетраэдра равно $a$. Центры вписанного и описанного шаров совпадают и делят высоту тетраэдра $H$ в отношении 3:1, считая от вершины.

Радиус описанного шара $R$ составляет $3/4$ высоты, а радиус вписанного шара $r$ составляет $1/4$ высоты.

$R = \frac{3}{4}H$, $r = \frac{1}{4}H$.

Отношение радиусов $\frac{R}{r} = \frac{3/4 H}{1/4 H} = 3$.

Отношение площадей поверхностей:

$\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: 9.

в) правильный октаэдр (рис. 232);

Пусть ребро правильного октаэдра равно $a$. Центр октаэдра является центром для обоих шаров.

Радиус описанного шара $R$ равен расстоянию от центра до любой вершины. Это расстояние равно половине диагонали октаэдра. Диагональ соединяет противолежащие вершины и ее длина равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра до центра любой грани (которая является равносторонним треугольником). Это расстояние равно $r = \frac{a}{\sqrt{6}}$.

Отношение площадей поверхностей:

$\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}/2}{a/\sqrt{6}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{12}}{2}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: 3.

г) цилиндр с квадратным осевым сечением;

Пусть сторона квадратного осевого сечения равна $a$. Тогда высота цилиндра $H=a$ и диаметр его основания $D=a$. Радиус основания цилиндра $r_{cyl} = a/2$.

Центр вписанного и описанного шаров совпадает с центром симметрии цилиндра.

Радиус вписанного шара $r$ равен радиусу основания цилиндра: $r = r_{cyl} = \frac{a}{2}$.

Радиус описанного шара $R$ находится из прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{cyl}$ и половина высоты $H/2$.

$R^2 = r_{cyl}^2 + (H/2)^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = 2\frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Отношение площадей поверхностей:

$\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2 = \left(\frac{a/\sqrt{2}}{a/2}\right)^2 = (\frac{2}{\sqrt{2}})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Ответ: 2.

д) конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник;

Пусть сторона равностороннего треугольника в осевом сечении равна $a$. Тогда образующая конуса $l=a$, а диаметр основания $D=a$, радиус основания $r_{cone} = a/2$. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника: $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Центры вписанного и описанного шаров совпадают с центром равностороннего треугольника в осевом сечении. Этот центр делит высоту $H$ в отношении 2:1, считая от вершины.

Радиус описанного шара $R$ равен радиусу описанной окружности треугольника: $R = \frac{2}{3}H$.

Радиус вписанного шара $r$ равен радиусу вписанной окружности треугольника: $r = \frac{1}{3}H$.

Отношение радиусов $\frac{R}{r} = \frac{2/3 H}{1/3 H} = 2$.

Отношение площадей поверхностей:

$\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: 4.

е) правильную n-угольную пирамиду с ребром основания a и высотой H.

Центры вписанного и описанного шаров лежат на высоте пирамиды.

1. Радиус описанного шара $R$. Центр описанного шара равноудален от вершины пирамиды и от всех вершин основания. Пусть $R_b$ — радиус окружности, описанной около основания пирамиды. Для правильного n-угольника со стороной $a$: $R_b = \frac{a}{2 \sin(\pi/n)}$. Радиус $R$ находится по формуле: $R = \frac{H^2 + R_b^2}{2H}$.

2. Радиус вписанного шара $r$. Центр вписанного шара равноудален от основания и от всех боковых граней. Пусть $h_b$ — апофема основания. Для правильного n-угольника со стороной $a$: $h_b = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}$. Радиус $r$ находится по формуле: $r = \frac{H h_b}{\sqrt{H^2+h_b^2} + h_b}$.

3. Отношение площадей поверхностей $\frac{S_R}{S_r} = (\frac{R}{r})^2$.

$(\frac{R}{r})^2 = \left( \frac{(H^2 + R_b^2)/(2H)}{H h_b / (\sqrt{H^2 + h_b^2} + h_b)} \right)^2 = \left( \frac{(H^2 + R_b^2)(\sqrt{H^2 + h_b^2} + h_b)}{2H^2 h_b} \right)^2$.

Подставим выражения для $R_b$ и $h_b$ через $a$ и $n$:

$\frac{S_R}{S_r} = \left( \frac{\left(H^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2(\pi/n)}\right) \left(\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4 \tan^2(\pi/n)}} + \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}\right)}{2H^2 \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}} \right)^2$.

Ответ: $\left( \frac{\left(H^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2(\pi/n)}\right) \left(\sqrt{H^2 + \frac{a^2}{4 \tan^2(\pi/n)}} + \frac{a}{2 \tan(\pi/n)}\right)}{\frac{H^2 a}{\tan(\pi/n)}} \right)^2$.