Номер 726, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

726. Ребро правильного тетраэдра равно $a$ дм. Найдите поверхность шара, вписанного в этот тетраэдр.

Для того чтобы найти площадь поверхности шара, вписанного в правильный тетраэдр, необходимо сначала определить радиус этого шара ($r$). Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4 \pi r^2$.

Радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром $a$, можно найти через отношение объема тетраэдра ($V$) к площади его полной поверхности ($A_{total}$):

$r = \frac{3V}{A_{total}}$

1. Найдем площадь полной поверхности тетраэдра ($A_{total}$).
Правильный тетраэдр состоит из четырех одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $A_{face} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Следовательно, площадь полной поверхности тетраэдра:

$A_{total} = 4 \cdot A_{face} = 4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = a^2 \sqrt{3}$

2. Найдем объем тетраэдра ($V$).
Объем тетраэдра, как и любой пирамиды, равен $V = \frac{1}{3} B \cdot H$, где $B$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.
Площадь основания $B$ — это площадь равностороннего треугольника: $B = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Высоту $H$ тетраэдра найдем по теореме Пифагора. Высота, опущенная из вершины на основание, падает в центр основания, который также является центром описанной окружности для треугольника в основании. Радиус этой окружности равен $R_{base} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $a$ (гипотенуза), высотой тетраэдра $H$ и радиусом $R_{base}$ (катеты):

$H^2 = a^2 - R_{base}^2 = a^2 - \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь вычислим объем:

$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3 \sqrt{18}}{36} = \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}$

3. Найдем радиус вписанного шара ($r$).
Подставим найденные значения $V$ и $A_{total}$ в формулу для радиуса:

$r = \frac{3V}{A_{total}} = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3 \sqrt{2}}{4}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

(Отметим, что радиус вписанного в правильный тетраэдр шара равен четверти его высоты: $r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$, что подтверждает наш расчет).

4. Найдем площадь поверхности вписанного шара ($S$).
Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь поверхности шара:

$S = 4 \pi r^2 = 4 \pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{12}\right)^2 = 4 \pi \left(\frac{a^2 \cdot 6}{144}\right) = 4 \pi \left(\frac{a^2}{24}\right) = \frac{4 \pi a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{6}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{6}$ дм²