Номер 714, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

714. Емкость в форме полусферы заполнена водой. Найдите, какая часть воды выльется, если емкость наклонить на:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Пусть емкость имеет форму полусферы радиуса $R$. Ее объем (изначальный объем воды) равен $V_{общ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.

Для решения задачи воспользуемся методом сечений (принципом Кавальери). Разместим полусферу в системе координат так, чтобы ее основание лежало в плоскости $xy$, а центр основания совпадал с началом координат. Уравнение поверхности сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, причем для полусферы $z \ge 0$.

Наклон емкости на угол $\alpha$ эквивалентен повороту плоскости поверхности воды на угол $\alpha$ относительно плоскости $xy$. Будем считать, что наклон происходит вокруг оси $y$. Тогда новая плоскость поверхности воды будет проходить через ось $y$ и задаваться уравнением $z = x \tan\alpha$.

Вода выльется из той части полусферы, где $x>0$, и где исходный объем был ограничен сверху поверхностью сферы, а снизу — плоскостью $z=0$. Вылившийся объем — это та часть, которая находится между плоскостью $z=0$ и новой плоскостью поверхности воды $z=x \tan\alpha$.

Рассмотрим сечение этого объема плоскостью, перпендикулярной оси $y$, на расстоянии $y$ от начала координат. Сечение представляет собой полукруг радиусом $r_y = \sqrt{R^2 - y^2}$ в плоскости $xz$. Линия новой поверхности воды в этом сечении — это прямая $z = x \tan\alpha$, проходящая через центр этого полукруга и образующая угол $\alpha$ с осью $x$.

Площадь части сечения, соответствующая вылившейся воде, — это площадь сектора радиусом $r_y$ с центральным углом $\alpha$ (в радианах). Площадь этого сектора равна $A(y) = \frac{1}{2}r_y^2 \alpha_{rad} = \frac{1}{2}(R^2-y^2)\alpha_{rad}$.

Чтобы найти объем вылившейся воды $V_{выльется}$, проинтегрируем эту площадь по $y$ от $-R$ до $R$:

$V_{выльется} = \int_{-R}^{R} A(y) dy = \int_{-R}^{R} \frac{1}{2}(R^2-y^2)\alpha_{rad} dy$

$V_{выльется} = \frac{\alpha_{rad}}{2} \left[ R^2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-R}^{R} = \frac{\alpha_{rad}}{2} \left( (R^3 - \frac{R^3}{3}) - (-R^3 + \frac{R^3}{3}) \right) = \frac{\alpha_{rad}}{2} \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right) = \frac{\alpha_{rad}}{2} \cdot \frac{4R^3}{3} = \frac{2}{3}\alpha_{rad} R^3$.

Чтобы найти, какая часть воды выльется, разделим объем вылившейся воды на общий объем:

Часть = $\frac{V_{выльется}}{V_{общ}} = \frac{\frac{2}{3}\alpha_{rad} R^3}{\frac{2}{3}\pi R^3} = \frac{\alpha_{rad}}{\pi}$.

Переведем угол $\alpha$ из градусов в радианы по формуле $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}$. Тогда искомая часть равна:

Часть = $\frac{\alpha_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}}{\pi} = \frac{\alpha_{deg}}{180}$.

Теперь найдем эту часть для каждого из заданных углов.

При наклоне на $\alpha = 30^\circ$ выльется следующая часть воды:

Часть = $\frac{30}{180} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

При наклоне на $\alpha = 45^\circ$ выльется следующая часть воды:

Часть = $\frac{45}{180} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

При наклоне на $\alpha = 60^\circ$ выльется следующая часть воды:

Часть = $\frac{60}{180} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.