Номер 711, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

711. Шар с радиусом 65 дм пересечен двумя параллельными плоскостями, находящимися по одну сторону от центра на расстояниях 19 дм и 25 дм от него. Найдите объем части шара между ними.

Объем части шара, находящейся между двумя параллельными секущими плоскостями, называется объемом шарового слоя. Для его вычисления используется формула:

$V = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$

где $h$ — высота шарового слоя (расстояние между плоскостями), а $r_1$ и $r_2$ — радиусы оснований шарового слоя (круговых сечений, образованных плоскостями).

Согласно условию задачи, радиус шара $R = 65$ дм. Две параллельные плоскости находятся по одну сторону от центра на расстояниях $d_1 = 19$ дм и $d_2 = 25$ дм.

1. Найдем высоту шарового слоя $h$.

Поскольку плоскости находятся по одну сторону от центра, высота слоя равна разности расстояний от центра до этих плоскостей:

$h = d_2 - d_1 = 25 - 19 = 6$ дм.

2. Найдем квадраты радиусов оснований $r_1^2$ и $r_2^2$.

Радиус сечения шара плоскостью $r$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус шара $R$ связаны по теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Из этого соотношения получаем $r^2 = R^2 - d^2$.

Для плоскости, находящейся на расстоянии $d_1 = 19$ дм от центра, квадрат радиуса сечения $r_1^2$ равен:

$r_1^2 = R^2 - d_1^2 = 65^2 - 19^2 = (65 - 19)(65 + 19) = 46 \cdot 84 = 3864$ дм².

Для плоскости, находящейся на расстоянии $d_2 = 25$ дм от центра, квадрат радиуса сечения $r_2^2$ равен:

$r_2^2 = R^2 - d_2^2 = 65^2 - 25^2 = (65 - 25)(65 + 25) = 40 \cdot 90 = 3600$ дм².

3. Вычислим объем шарового слоя.

Подставим найденные значения $h=6$, $r_1^2=3864$ и $r_2^2=3600$ в формулу объема:

$V = \frac{\pi \cdot 6}{6} (3 \cdot 3864 + 3 \cdot 3600 + 6^2) = \pi (3(3864 + 3600) + 36)$

$V = \pi (3 \cdot 7464 + 36) = \pi (22392 + 36) = 22428\pi$ дм³.

Ответ: $22428\pi$ дм³.