Номер 713, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

713. Плоскость разделила шар на части, сферические поверхности которых относятся как $m : n$. Найдите отношение объемов этих частей.

Пусть шар радиуса $R$ рассекается плоскостью на два шаровых сегмента. Высоты этих сегментов обозначим как $h_1$ и $h_2$. Сумма высот двух сегментов, полученных при рассечении шара одной плоскостью, равна диаметру шара: $h_1 + h_2 = 2R$.

Площадь сферической поверхности (также известная как площадь сферической шапочки или сегмента) вычисляется по формуле $S = 2 \pi R h$, где $h$ — высота сегмента.

По условию задачи, отношение площадей сферических поверхностей двух получившихся частей равно $m : n$. Обозначим эти площади как $S_1$ и $S_2$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2 \pi R h_1}{2 \pi R h_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{m}{n}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений для нахождения высот $h_1$ и $h_2$ в зависимости от радиуса шара $R$ и заданного отношения $m:n$:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = 2R \\ \frac{h_1}{h_2} = \frac{m}{n}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $h_1 = \frac{m}{n} h_2$ и подставим в первое уравнение:

$\frac{m}{n} h_2 + h_2 = 2R$

$h_2 \left(\frac{m}{n} + 1\right) = 2R$

$h_2 \frac{m+n}{n} = 2R \implies h_2 = 2R \frac{n}{m+n}$

Теперь найдем $h_1$:

$h_1 = 2R - h_2 = 2R - 2R \frac{n}{m+n} = 2R \left(1 - \frac{n}{m+n}\right) = 2R \frac{m+n-n}{m+n} = 2R \frac{m}{m+n}$

Далее найдем отношение объемов этих частей. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h)$. Обозначим объемы частей как $V_1$ и $V_2$.

Их отношение равно:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi h_1^2 (3R - h_1)}{\frac{1}{3} \pi h_2^2 (3R - h_2)} = \frac{h_1^2 (3R - h_1)}{h_2^2 (3R - h_2)}$

Подставим в это выражение найденные значения для $h_1$ и $h_2$. Сначала вычислим выражения в скобках:

$3R - h_1 = 3R - 2R \frac{m}{m+n} = R \left(3 - \frac{2m}{m+n}\right) = R \frac{3(m+n) - 2m}{m+n} = R \frac{3m+3n-2m}{m+n} = R \frac{m+3n}{m+n}$

$3R - h_2 = 3R - 2R \frac{n}{m+n} = R \left(3 - \frac{2n}{m+n}\right) = R \frac{3(m+n) - 2n}{m+n} = R \frac{3m+3n-2n}{m+n} = R \frac{3m+n}{m+n}$

Теперь подставим все компоненты в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\left(2R \frac{m}{m+n}\right)^2 \left(R \frac{m+3n}{m+n}\right)}{\left(2R \frac{n}{m+n}\right)^2 \left(R \frac{3m+n}{m+n}\right)} = \frac{4R^2 \frac{m^2}{(m+n)^2} \cdot R \frac{m+3n}{m+n}}{4R^2 \frac{n^2}{(m+n)^2} \cdot R \frac{3m+n}{m+n}}$

Сокращая общие множители $4R^3$ и $\frac{1}{(m+n)^3}$, получаем итоговое выражение:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{m^2(m+3n)}{n^2(3m+n)}$

Ответ: $\frac{m^2(m+3n)}{n^2(3m+n)}$