Номер 762, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

762. В четырехугольнике $ABCD$ углы $A$, $B$ и $C$ равны $90^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $150^{\circ}$ соответственно, а стороны $BC$ и $AD - 6\sqrt{3}$ и $6$ соответственно. Найдите длины двух других сторон.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1. Нахождение угла D.
Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ $90^\circ + 60^\circ + 150^\circ + \angle D = 360^\circ$ $300^\circ + \angle D = 360^\circ$ $\angle D = 60^\circ$.

2. Введение системы координат.
Поместим четырехугольник в декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $A(0, 0)$. Поскольку $\angle A = 90^\circ$, мы можем расположить сторону $AD$ вдоль оси $Ox$, а сторону $AB$ – вдоль оси $Oy$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0, 0)$
• $D(6, 0)$, так как длина $AD = 6$.
• $B(0, b)$, где $b$ – это искомая длина стороны $AB$.
• $C(x_C, y_C)$ – координаты этой вершины нам предстоит найти.

3. Составление уравнений прямых, содержащих стороны.
Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны $DC$ и $BC$.

• Прямая DC: Она проходит через точку $D(6, 0)$. Угол $\angle D = 60^\circ$. Так как сторона $AD$ лежит на оси $Ox$, то угол, который образует прямая $DC$ с положительным направлением оси $Ox$, равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Угловой коэффициент прямой $DC$ равен $k_{DC} = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$. Уравнение прямой $DC$: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 6)$, то есть $y = -\sqrt{3}x + 6\sqrt{3}$.
• Прямая BC: Она проходит через точку $B(0, b)$. Угол $\angle B = 60^\circ$. Вектор $\vec{BA}$ направлен вдоль отрицательной части оси $Oy$ (угол $270^\circ$ или $-90^\circ$). Для выпуклого четырехугольника, вектор $\vec{BC}$ должен быть повернут на $60^\circ$ по часовой стрелке от $\vec{BA}$. Таким образом, направление $\vec{BC}$ составляет угол $270^\circ + 60^\circ = 330^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$. Угловой коэффициент прямой $BC$ равен $k_{BC} = \tan(330^\circ) = -1/\sqrt{3}$. Уравнение прямой $BC$: $y - b = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 0)$, то есть $y = -\frac{x}{\sqrt{3}} + b$.

4. Нахождение координат вершины C.
Вершина $C(x_C, y_C)$ является точкой пересечения прямых $DC$ и $BC$. Приравняем правые части их уравнений: $-\sqrt{3}x_C + 6\sqrt{3} = -\frac{x_C}{\sqrt{3}} + b$ Умножим обе части на $\sqrt{3}$: $-3x_C + 18 = -x_C + b\sqrt{3}$ $2x_C = 18 - b\sqrt{3}$

5. Использование длины стороны BC.
По условию, длина стороны $BC = 6\sqrt{3}$. Используем формулу расстояния между точками $B(0, b)$ и $C(x_C, y_C)$: $BC^2 = (x_C - 0)^2 + (y_C - b)^2 = (6\sqrt{3})^2 = 108$. Из уравнения прямой $BC$ имеем: $y_C - b = -\frac{x_C}{\sqrt{3}}$. Подставим это в формулу расстояния: $x_C^2 + \left(-\frac{x_C}{\sqrt{3}}\right)^2 = 108$ $x_C^2 + \frac{x_C^2}{3} = 108$ $\frac{4x_C^2}{3} = 108$ $x_C^2 = \frac{108 \cdot 3}{4} = 81$ Отсюда $x_C = 9$ или $x_C = -9$.

6. Вычисление длины стороны AB.
Рассмотрим оба случая для $x_C$:

• Если $x_C = 9$: Подставим в уравнение $2x_C = 18 - b\sqrt{3}$: $2(9) = 18 - b\sqrt{3} \implies 18 = 18 - b\sqrt{3} \implies b\sqrt{3} = 0 \implies b = 0$. Длина $AB = 0$ означает, что точки $A$ и $B$ совпадают, и четырехугольник вырождается в треугольник, что противоречит условию ($\angle B = 60^\circ$).
• Если $x_C = -9$: Подставим в уравнение $2x_C = 18 - b\sqrt{3}$: $2(-9) = 18 - b\sqrt{3} \implies -18 = 18 - b\sqrt{3} \implies b\sqrt{3} = 36$. $b = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$. Это и есть длина стороны $AB$.

7. Вычисление длины стороны CD.
Сначала найдем координаты вершины $C$. Мы знаем, что $x_C = -9$ и $b = AB = 12\sqrt{3}$. Подставим эти значения в уравнение прямой $BC$: $y_C = -\frac{x_C}{\sqrt{3}} + b = -\frac{-9}{\sqrt{3}} + 12\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{3} + 12\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$. Итак, координаты $C(-9, 15\sqrt{3})$. Теперь найдем расстояние между точками $C(-9, 15\sqrt{3})$ и $D(6, 0)$: $CD^2 = (6 - (-9))^2 + (0 - 15\sqrt{3})^2 = (15)^2 + (-15\sqrt{3})^2$ $CD^2 = 225 + 225 \cdot 3 = 225 \cdot (1+3) = 225 \cdot 4 = 900$. $CD = \sqrt{900} = 30$.

Таким образом, длины двух других сторон равны $12\sqrt{3}$ и $30$.

Ответ: $AB = 12\sqrt{3}$, $CD = 30$.