Номер 765, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

765. Прямые $l_1$ и $l_2$ отсекают на сторонах $a$ и $b$ прямого угла отрезки, равные соответственно $a_1$ и $b_1$, $a_2$ и $b_2$. Докажите, что если $\frac{a_1b_1}{a_1+b_1} = m = \frac{a_2b_2}{a_2+b_2}$, то прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке на биссектрисе прямого угла. Найдите расстояние от вершины угла до точки пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина прямого угла находится в начале координат $O(0,0)$, а его стороны $a$ и $b$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Докажите, что если $\frac{a_1b_1}{a_1+b_1} = m = \frac{a_2b_2}{a_2+b_2}$, то прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке на биссектрисе прямого угла

Прямая $l_1$ отсекает на осях $Ox$ и $Oy$ отрезки $a_1$ и $b_1$, то есть она проходит через точки $A_1(a_1, 0)$ и $B_1(0, b_1)$. Уравнение прямой в отрезках имеет вид: $$ \frac{x}{a_1} + \frac{y}{b_1} = 1 $$ Аналогично, прямая $l_2$ проходит через точки $A_2(a_2, 0)$ и $B_2(0, b_2)$, и ее уравнение: $$ \frac{x}{a_2} + \frac{y}{b_2} = 1 $$ Биссектриса прямого угла в первой координатной четверти задается уравнением $y=x$. Точка лежит на биссектрисе, если ее координаты равны. Нам нужно доказать, что точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ имеет равные координаты.

Пусть $P(x_0, y_0)$ — точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$. Ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям.

Рассмотрим точку $K$ с координатами $(m, m)$. Проверим, лежит ли эта точка на прямой $l_1$. Для этого подставим ее координаты в уравнение прямой $l_1$: $$ \frac{m}{a_1} + \frac{m}{b_1} = m \left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{b_1}\right) = m \frac{a_1+b_1}{a_1 b_1} $$ Из условия задачи мы знаем, что $m = \frac{a_1b_1}{a_1+b_1}$. Подставим это значение в полученное выражение: $$ \frac{a_1b_1}{a_1+b_1} \cdot \frac{a_1+b_1}{a_1 b_1} = 1 $$ Так как мы получили верное равенство $1=1$, точка $K(m, m)$ лежит на прямой $l_1$.

Аналогично проверим, лежит ли точка $K(m,m)$ на прямой $l_2$: $$ \frac{m}{a_2} + \frac{m}{b_2} = m \left(\frac{1}{a_2} + \frac{1}{b_2}\right) = m \frac{a_2+b_2}{a_2 b_2} $$ Используя условие $m = \frac{a_2b_2}{a_2+b_2}$, получаем: $$ \frac{a_2b_2}{a_2+b_2} \cdot \frac{a_2+b_2}{a_2 b_2} = 1 $$ Равенство $1=1$ также верно, значит, точка $K(m, m)$ лежит и на прямой $l_2$.

Поскольку точка $K(m,m)$ принадлежит обеим прямым, она является их точкой пересечения. Координаты этой точки равны ($x_0=m$, $y_0=m$), следовательно, она лежит на биссектрисе прямого угла $y=x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Условие $m = \frac{a_1b_1}{a_1+b_1} = \frac{a_2b_2}{a_2+b_2}$ гарантирует, что точка пересечения имеет координаты $(m,m)$, а значит, лежит на биссектрисе прямого угла.

Найдите расстояние от вершины угла до точки пересечения прямых $l_1$ и $l_2$

Как мы доказали выше, точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ — это точка $P$ с координатами $(m, m)$. Вершина угла находится в начале координат $O(0,0)$.

Расстояние $d$ от вершины угла $O(0,0)$ до точки пересечения $P(m,m)$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками: $$ d = \sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} $$ Подставляем координаты точек $O$ и $P$: $$ d = \sqrt{(m-0)^2 + (m-0)^2} = \sqrt{m^2 + m^2} = \sqrt{2m^2} = m\sqrt{2} $$

Ответ: $m\sqrt{2}$