Номер 772, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

772. Найдите стороны прямоугольника, у которого диагональ равна 25, а вершина находится на расстоянии 6,72 от нее.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ прямоугольника, равная $d=25$, является гипотенузой для прямоугольного треугольника, катетами которого служат стороны $a$ и $b$.

Согласно теореме Пифагора, для этого треугольника справедливо соотношение:$a^2 + b^2 = d^2$Подставляя известное значение диагонали, получаем первое уравнение:$a^2 + b^2 = 25^2 = 625$

Расстояние от вершины прямоугольника до его диагонали представляет собой высоту $h$, опущенную из вершины прямого угла на гипотенузу в упомянутом прямоугольном треугольнике. По условию, $h = 6.72$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:1. Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2}dh$

Приравняв эти два выражения для площади, получим:$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}dh$$ab = dh$Подставляя известные значения $d$ и $h$, получаем второе уравнение:$ab = 25 \times 6.72 = 168$

Таким образом, для нахождения сторон прямоугольника $a$ и $b$ необходимо решить систему уравнений:$\begin{cases} a^2 + b^2 = 625 \\ ab = 168 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать следующие тождества:$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Используя наши уравнения, найдем $(a+b)^2$:$(a+b)^2 = (a^2 + b^2) + 2(ab) = 625 + 2 \times 168 = 625 + 336 = 961$Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон, их сумма должна быть положительной, поэтому:$a+b = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем $(a-b)^2$:$(a-b)^2 = (a^2 + b^2) - 2(ab) = 625 - 2 \times 168 = 625 - 336 = 289$Отсюда:$a-b = \pm\sqrt{289} = \pm17$

Теперь у нас есть две возможные системы линейных уравнений.1) $\begin{cases} a+b = 31 \\ a-b = 17 \end{cases}$Сложим два уравнения: $2a = 48$, откуда $a = 24$. Подставим значение $a$ в первое уравнение: $24 + b = 31$, откуда $b = 7$.

2) $\begin{cases} a+b = 31 \\ a-b = -17 \end{cases}$Сложим два уравнения: $2a = 14$, откуда $a = 7$. Подставим значение $a$ в первое уравнение: $7 + b = 31$, откуда $b = 24$.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 7 и 24.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 и 24.