Номер 766, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

766. Найдите катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ и острым углом $15^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Один из острых углов равен $15^\circ$.

Катеты прямоугольного треугольника можно выразить через гипотенузу и острые углы с помощью тригонометрических функций. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Катет, прилежащий к углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла.

Пусть катет $a$ противолежит углу $15^\circ$, а катет $b$ прилежит к этому углу (и, соответственно, противолежит другому острому углу $90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$). Тогда:
$a = c \cdot \sin(15^\circ)$
$b = c \cdot \cos(15^\circ)$

Для нахождения длин катетов необходимо вычислить точные значения $\sin(15^\circ)$ и $\cos(15^\circ)$. Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса разности углов, представив $15^\circ$ как $45^\circ - 30^\circ$.

Вычисление $\sin(15^\circ)$:
$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$
Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Вычисление $\cos(15^\circ)$:
$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$
$\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставляем найденные значения в выражения для катетов:
$a = c \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
$b = c \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: катеты равны $c \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ и $c \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.