Номер 768, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

768. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, учитывая, что она на 1 см больше одного катета и на 8 см — другого.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$ см. По условию задачи, один катет на 1 см короче гипотенузы, а другой — на 8 см. Обозначим катеты как $a$ и $b$.

Тогда длины катетов можно выразить через длину гипотенузы $c$:

$a = c - 1$

$b = c - 8$

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:

$(c - 1)^2 + (c - 8)^2 = c^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 2c + 1) + (c^2 - 16c + 64) = c^2$

Сложим подобные члены в левой части уравнения:

$2c^2 - 18c + 65 = c^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2c^2 - c^2 - 18c + 65 = 0$

$c^2 - 18c + 65 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64$

Найдем корни уравнения:

$c_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$c_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь нужно проверить, какой из корней является решением задачи. Длины сторон треугольника должны быть положительными числами.

1. Проверим корень $c = 13$:

Катет $a = c - 1 = 13 - 1 = 12$ см.

Катет $b = c - 8 = 13 - 8 = 5$ см.

Все стороны (13 см, 12 см, 5 см) имеют положительную длину. Это решение является допустимым.

2. Проверим корень $c = 5$:

Катет $a = c - 1 = 5 - 1 = 4$ см.

Катет $b = c - 8 = 5 - 8 = -3$ см.

Длина катета не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.

Следовательно, гипотенуза треугольника равна 13 см.

Ответ: 13 см.