Номер 763, страница 109 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

763. Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 8, а медиана к боковой стороне — $5\sqrt{2}$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а основание $AC = 8$. Обозначим длину боковой стороны $AB = BC = a$. Пусть $AM$ — медиана, проведенная к боковой стороне $BC$. По условию, длина этой медианы $AM = 5\sqrt{2}$. Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BM = MC = \frac{a}{2}$.

Для нахождения длины боковой стороны $a$ воспользуемся формулой длины медианы. Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется по формуле:$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Применим эту формулу к нашему треугольнику, рассматривая медиану $AM$, проведенную к стороне $BC$. В этом случае:

• Медиана $AM = 5\sqrt{2}$
• Сторона, к которой проведена медиана, $BC = a$
• Две другие стороны $AB = a$ и $AC = 8$

Подставляем эти значения в формулу:$AM^2 = \frac{2(AB^2) + 2(AC^2) - BC^2}{4}$

$(5\sqrt{2})^2 = \frac{2a^2 + 2(8^2) - a^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение:$25 \cdot 2 = \frac{2a^2 + 2 \cdot 64 - a^2}{4}$$50 = \frac{a^2 + 128}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:$200 = a^2 + 128$$a^2 = 200 - 128$$a^2 = 72$$a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

Итак, длина боковой стороны треугольника равна $6\sqrt{2}$.

Теперь найдем периметр треугольника $P$, который равен сумме длин всех его сторон:$P = AB + BC + AC = a + a + 8 = 2a + 8$

Подставим найденное значение $a$:$P = 2(6\sqrt{2}) + 8 = 12\sqrt{2} + 8$

Ответ: $12\sqrt{2} + 8$