Номер 767, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

767. Найдите стороны прямоугольного треугольника с периметром 30 и площадью 30.

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Согласно условию задачи, периметр треугольника равен 30, а площадь равна 30. Запишем это в виде системы уравнений:

1) $a + b + c = 30$ (периметр)

2) $\frac{1}{2}ab = 30$ (площадь)

Также для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:

3) $a^2 + b^2 = c^2$

Из второго уравнения выразим произведение катетов:

$ab = 2 \cdot 30 = 60$

Из первого уравнения выразим гипотенузу $c$:

$c = 30 - (a + b)$

Подставим это выражение для $c$ в уравнение теоремы Пифагора:

$a^2 + b^2 = (30 - (a + b))^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$a^2 + b^2 = 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot (a + b) + (a + b)^2$

$a^2 + b^2 = 900 - 60(a + b) + a^2 + 2ab + b^2$

Сократим одинаковые члены ($a^2$ и $b^2$) в обеих частях уравнения:

$0 = 900 - 60(a + b) + 2ab$

Мы уже знаем, что $ab = 60$. Подставим это значение в уравнение:

$0 = 900 - 60(a + b) + 2 \cdot 60$

$0 = 900 - 60(a + b) + 120$

$0 = 1020 - 60(a + b)$

Отсюда найдем сумму катетов $a + b$:

$60(a + b) = 1020$

$a + b = \frac{1020}{60} = 17$

Теперь, когда мы знаем сумму катетов, мы можем найти гипотенузу:

$c = 30 - (a + b) = 30 - 17 = 13$

Осталось найти катеты $a$ и $b$, зная их сумму и произведение:

$a + b = 17$

$ab = 60$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 17x + 60 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{17 - \sqrt{49}}{2} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{17 + \sqrt{49}}{2} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, катеты треугольника равны 5 и 12.

Проверка: стороны 5, 12, 13. Периметр $5+12+13 = 30$. Площадь $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. Все условия выполнены.

Ответ: стороны прямоугольного треугольника равны 5, 12 и 13.