Номер 770, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

770. Точка $M$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Найдите угол между прямыми $MC$ и $BD$.

Для нахождения угла между прямыми $MC$ и $BD$ воспользуемся геометрическим методом с дополнительным построением.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Обозначим длину его стороны как $a$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, следовательно, $AM = MB = a/2$.

Продлим прямую $MC$ за точку $M$ до пересечения с прямой $DA$, продлённой за точку $A$. Точку пересечения назовём $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle CMB$. В них:

• $AM = MB$ (по условию, $M$ — середина $AB$).
• $\angle KAM = \angle CBM = 90^\circ$ (так как $DA \perp AB$ и $CB \perp AB$).
• $\angle KMA = \angle CMB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle CMB$ равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует, что $KA = CB$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, $CB = AD = a$. Таким образом, $KA = a$. Длина отрезка $KD$ равна $KA + AD = a + a = 2a$.

Искомый угол между прямыми $MC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $KC$ и $BD$. Обозначим точку их пересечения через $O$. Найдём острый угол $\varphi$ при их пересечении, рассмотрев треугольник $\triangle KOD$.

В треугольнике $\triangle KOD$ известны два угла:

• Угол $\angle KDO$ является частью диагонали квадрата, поэтому $\angle KDO = \angle BDA = 45^\circ$.
• Угол $\angle OKD$ (он же $\angle CKD$) найдём из прямоугольного треугольника $\triangle KDC$ (угол при вершине $D$ прямой). В этом треугольнике известны катеты: $CD = a$ и $KD = 2a$. Тангенс угла $\angle CKD$ равен: $ \tan(\angle CKD) = \frac{CD}{KD} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} $.

Сумма углов в треугольнике $\triangle KOD$ равна $180^\circ$. Угол $\angle KOD = 180^\circ - (\angle KDO + \angle OKD) = 180^\circ - (45^\circ + \angle CKD)$. Искомый острый угол $\varphi$ между прямыми будет смежным с углом $\angle KOD$ (или равен ему, если $\angle KOD$ острый). Таким образом, $\varphi = 180^\circ - \angle KOD = 45^\circ + \angle CKD$.

Чтобы найти значение угла $\varphi$, вычислим его тангенс, используя формулу тангенса суммы:
$ \tan(\varphi) = \tan(45^\circ + \angle CKD) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(\angle CKD)}{1 - \tan(45^\circ) \cdot \tan(\angle CKD)} $.
Подставив известные значения $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(\angle CKD) = 1/2$, получаем:
$ \tan(\varphi) = \frac{1 + 1/2}{1 - 1 \cdot 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3 $.

Таким образом, искомый угол равен $ \arctan(3) $.

Ответ: $ \arctan(3) $.