Номер 771, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

771. В параллелограмме с углом $60^\circ$ квадраты диагоналей относятся как $3:7$ (рис. 245). Найдите отношение сторон параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали — $d_1$ и $d_2$. Один из углов параллелограмма по условию равен $60^\circ$, следовательно, смежный с ним угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся теоремой косинусов. Рассмотрим треугольники, образованные двумя смежными сторонами и диагональю параллелограмма.

Для диагонали, лежащей напротив угла $60^\circ$ (пусть это будет $d_1$), квадрат ее длины равен:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 - ab$

Для диагонали, лежащей напротив угла $120^\circ$ (пусть это будет $d_2$), квадрат ее длины равен:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab$

Из полученных выражений видно, что $d_2^2 > d_1^2$. По условию, квадраты диагоналей относятся как $3:7$. Это означает, что отношение меньшего квадрата к большему равно $\frac{3}{7}$.

$\frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{a^2 + b^2 - ab}{a^2 + b^2 + ab} = \frac{3}{7}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции:

$7(a^2 + b^2 - ab) = 3(a^2 + b^2 + ab)$

$7a^2 + 7b^2 - 7ab = 3a^2 + 3b^2 + 3ab$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$(7a^2 - 3a^2) + (7b^2 - 3b^2) - (7ab + 3ab) = 0$

$4a^2 + 4b^2 - 10ab = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2a^2 - 5ab + 2b^2 = 0$

Это однородное уравнение. Чтобы найти отношение сторон $\frac{a}{b}$, разделим все уравнение на $b^2$ (поскольку $b \ne 0$):

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 5\left(\frac{a}{b}\right) + 2 = 0$

Сделаем замену $x = \frac{a}{b}$. Уравнение примет вид квадратного:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, мы получили два возможных значения для отношения сторон $\frac{a}{b}$: $\frac{1}{2}$ или $2$. Оба значения означают, что одна сторона параллелограмма в два раза больше другой.

Ответ: $1:2$