Номер 836, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

836. Докажите, что наименьшее расстояние между точками двух окружностей, из которых одна лежит вне другой, равно длине отрезка, лежащего на линии центров между этими окружностями.

Пусть даны две окружности, которые лежат одна вне другой. Обозначим центр первой окружности как $O_1$, а её радиус как $R_1$. Центр второй окружности обозначим как $O_2$, а её радиус как $R_2$. Расстояние между центрами окружностей равно $d = O_1O_2$. По условию, окружности не пересекаются и одна не находится внутри другой, следовательно, расстояние между их центрами больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.

Возьмём произвольную точку $A$ на первой окружности и произвольную точку $B$ на второй окружности. По определению окружности, расстояние от центра до любой точки на ней равно радиусу, то есть $O_1A = R_1$ и $O_2B = R_2$. Наша задача — найти наименьшее возможное значение длины отрезка $AB$.

Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольник $O_1O_2B$ (если точки не лежат на одной прямой). Длина одной его стороны не может превышать сумму длин двух других сторон:

$O_1O_2 \le O_1B + O_2B$

Так как точка $B$ лежит на второй окружности, $O_2B = R_2$. Подставим это в неравенство:

$d \le O_1B + R_2$

Теперь рассмотрим треугольник $O_1AB$. Снова применим неравенство треугольника:

$O_1B \le O_1A + AB$

Так как точка $A$ лежит на первой окружности, $O_1A = R_1$. Получаем:

$O_1B \le R_1 + AB$

Теперь объединим два полученных неравенства, подставив второе в первое:

$d \le (R_1 + AB) + R_2$

Из этого неравенства выразим длину отрезка $AB$:

$AB \ge d - R_1 - R_2$

Это неравенство показывает, что расстояние между любыми точками $A$ и $B$, принадлежащими данным окружностям, всегда не меньше величины $d - R_1 - R_2$.

Теперь покажем, что это наименьшее расстояние достигается. Проведём прямую через центры окружностей $O_1$ и $O_2$ — так называемую линию центров. Эта прямая пересечёт первую окружность в двух точках. Обозначим ту из них, что лежит на отрезке $O_1O_2$, как $A_0$. Аналогично, линия центров пересечёт вторую окружность в двух точках. Обозначим ту из них, что лежит на отрезке $O_1O_2$, как $B_0$.

Точки $A_0$ и $B_0$ лежат на отрезке, соединяющем центры $O_1$ и $O_2$. Расстояние между ними равно:

$A_0B_0 = O_1O_2 - O_1A_0 - O_2B_0 = d - R_1 - R_2$

Таким образом, мы нашли пару точек на окружностях, расстояние между которыми в точности равно $d - R_1 - R_2$. Это и есть наименьшее возможное расстояние, и оно равно длине отрезка ($A_0B_0$), лежащего на линии центров между данными окружностями.

Ответ: Утверждение доказано. Наименьшее расстояние между точками двух окружностей, из которых одна лежит вне другой, равно длине отрезка, лежащего на линии центров между этими окружностями. Эта длина вычисляется как разность между расстоянием между центрами и суммами радиусов: $d - R_1 - R_2$.