Номер 840, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

840. Через точку $A$ окружности проведена касательная $l$. Прямая, проходящая через $A$, пересекает окружность в точке $B$. Перпендикуляр к $OB$, проведенный через $O$, пересекает прямые $AB$ и $l$ в точках $K$ и $N$ соответственно. Докажите, что $KN = NA$.

Пусть O — центр окружности. Поскольку OA и OB являются радиусами, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием AB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$. Обозначим меру этих углов за $\alpha$.

Прямая $l$ — касательная к окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей. Таким образом, $OA \perp l$, из чего следует, что $\angle OAN = 90^\circ$. Угол $\angle NAK$ является углом между касательной $l$ и хордой AB. Его можно вычислить как разность:$\angle NAK = \angle OAN - \angle OAB = 90^\circ - \alpha$.

Согласно условию, через центр окружности O проведена прямая, перпендикулярная радиусу OB. Эта прямая, на которой лежат точки K и N, образует с прямой OB прямой угол, то есть $\angle KOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OKB$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle BOK = 90^\circ$ и $\angle OBK = \angle OBA = \alpha$. Тогда третий угол:$\angle OKB = 180^\circ - \angle BOK - \angle OBK = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Углы $\angle NKA$ и $\angle OKB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых AB и ON. Следовательно, они равны:$\angle NKA = \angle OKB = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ANK$. Мы установили, что два его угла равны: $\angle NAK = 90^\circ - \alpha$ и $\angle NKA = 90^\circ - \alpha$. Так как $\angle NAK = \angle NKA$, треугольник $\triangle ANK$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, $KN = NA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KN = NA$ доказано.