Номер 844, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

844. Через точки $A$ и $B$ окружности проведены касательные к ней. В фигуру, ограниченную этими касательными и дугой, величина которой составляет $120^\circ$, вписана окружность (рис. 267). Докажите, что длина этой окружности равна длине дуги.

Рис. 267

Пусть $O$ — центр большой окружности, а $R$ — её радиус. Пусть касательные, проведённые через точки $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Фигура, о которой идёт речь, ограничена отрезками касательных $PA$, $PB$ и дугой $AB$. По условию, величина дуги $AB$ составляет $120^\circ$, значит, соответствующий ей центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$.

Рассмотрим четырёхугольник $OAPB$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому $\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, следовательно, угол между касательными $\angle APB$ равен:

$\angle APB = 360^\circ - \angle OAP - \angle OBP - \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Длину дуги $AB$, обозначим её $L_{AB}$, можно найти по формуле длины дуги окружности: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.

$L_{AB} = \frac{\pi R \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{2\pi R}{3}$.

Пусть вписанная окружность имеет центр в точке $O'$ и радиус $r$. Эта окружность касается отрезков $PA$, $PB$ и дуги $AB$. В силу симметрии фигуры, центр $O'$ лежит на прямой $OP$, которая является биссектрисой углов $\angle APB$ и $\angle AOB$. Таким образом, $\angle APO = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAP$. В нём $\sin(\angle APO) = \frac{OA}{OP}$. Отсюда можем выразить расстояние $OP$:

$OP = \frac{OA}{\sin(\angle APO)} = \frac{R}{\sin(30^\circ)} = \frac{R}{1/2} = 2R$.

Теперь рассмотрим вписанную окружность. Расстояние от её центра $O'$ до касательной $PA$ равно её радиусу $r$. В прямоугольном треугольнике, образованном точками $P$, $O'$ и точкой касания на $PA$, гипотенузой является $O'P$. Тогда $\sin(\angle APO) = \frac{r}{O'P}$. Отсюда выразим $O'P$:

$O'P = \frac{r}{\sin(\angle APO)} = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r$.

Вписанная окружность касается дуги $AB$ в точке $T$, которая также лежит на оси симметрии $OP$. Следовательно, большая и малая окружности касаются внешним образом в точке $T$. Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме их радиусов: $OO' = R+r$.

Точки $O$, $O'$, $P$ лежат на одной прямой, причём $O'$ находится между $O$ и $P$. Поэтому $OP = OO' + O'P$. Подставим в это равенство найденные выражения для $OP$, $OO'$ и $O'P$:

$2R = (R+r) + 2r$

$2R = R + 3r$

$R = 3r$

Теперь найдём длину вписанной окружности $C_{впис}$ по формуле $C = 2\pi r$. Используя соотношение $R=3r$, получаем $r = \frac{R}{3}$:

$C_{впис} = 2\pi \left(\frac{R}{3}\right) = \frac{2\pi R}{3}$.

Сравнивая полученный результат с длиной дуги $L_{AB} = \frac{2\pi R}{3}$, мы видим, что $C_{впис} = L_{AB}$.

Ответ: Длина вписанной окружности равна длине дуги, что и требовалось доказать.