Номер 837, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

837. Докажите, что наименьшей из хорд, проходящих через точку A внутри круга, будет та, которая перпендикулярна диаметру, проведенному через точку A.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка внутри этой окружности.

Проведем через точку $A$ диаметр. Обозначим хорду, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна этому диаметру, как $CD$. Расстояние от центра окружности $O$ до хорды $CD$ равно длине отрезка $OA$, так как по построению $OA \perp CD$.

Теперь рассмотрим любую другую хорду $EF$, которая также проходит через точку $A$. Чтобы найти расстояние от центра до этой хорды, опустим перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на хорду $EF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle OHA = 90^\circ$ по построению перпендикуляра $OH$. В этом треугольнике отрезок $OA$ является гипотенузой, а отрезок $OH$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, следовательно, $OA > OH$.

Это означает, что расстояние от центра до хорды $CD$ (равное $OA$) больше, чем расстояние от центра до любой другой хорды $EF$, проходящей через точку $A$ (равное $OH$).

Длина хорды в окружности зависит от её расстояния до центра. Чем дальше хорда от центра, тем она короче. Это следует из теоремы Пифагора для треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и перпендикуляром от центра к хорде. Если длина хорды $L$, а расстояние до нее от центра $d$, то $(\frac{L}{2})^2 + d^2 = R^2$, откуда $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Поскольку расстояние $OA$ до хорды $CD$ больше расстояния $OH$ до хорды $EF$, то длина хорды $CD$ будет меньше длины хорды $EF$. Так как $EF$ — это любая другая хорда, проходящая через точку $A$, то хорда $CD$ является наименьшей.

Таким образом, мы доказали, что наименьшей из хорд, проходящих через точку $A$ внутри круга, будет та, которая перпендикулярна диаметру, проведенному через точку $A$.

Ответ: Хорда, перпендикулярная диаметру, проходящему через точку $A$, является наиболее удаленной от центра окружности по сравнению с любой другой хордой, проходящей через ту же точку $A$. Поскольку чем больше расстояние от хорды до центра, тем меньше её длина, эта хорда является наименьшей.