Номер 853, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

853. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена секущая, пересекающая окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что величина угла $CBD$ не зависит от выбора секущей.

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, которые пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая $l$, пересекающая окружность $\omega_1$ в точке C и окружность $\omega_2$ в точке D. Требуется доказать, что величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора секущей $l$.

Рассмотрим решение, основанное на теореме об угле между касательной и хордой (теорема об отрезках касательной и секущей).

Доказательство:

1. Проведем через точку A касательные к обеим окружностям. Пусть $t_1$ — касательная к окружности $\omega_1$ в точке A, а $t_2$ — касательная к окружности $\omega_2$ в точке A. Так как окружности и точка A фиксированы, то касательные $t_1$ и $t_2$ также являются фиксированными прямыми, и угол между ними имеет постоянную величину.

2. Применим теорему об угле между касательной и хордой. Существует формулировка этой теоремы, которая гласит: угол между хордой $AC$ и касательной $t_1$, проведенной через конец хорды A, равен вписанному углу $\angle ABC$, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой. Следовательно, для окружности $\omega_1$:

$\angle ABC = \angle(l, t_1)$

где $\angle(l, t_1)$ обозначает угол между секущей $l$ (содержащей хорду AC) и касательной $t_1$.

3. Аналогично, применим ту же теорему для окружности $\omega_2$. Угол между хордой $AD$ и касательной $t_2$ в точке A равен вписанному углу $\angle ABD$:

$\angle ABD = \angle(l, t_2)$

4. Теперь рассмотрим искомый угол $\angle CBD$. Точки C, A, D лежат на одной прямой $l$. Точка B не лежит на этой прямой. Следовательно, лучи BC и BD выходят из точки B и находятся по одну сторону от прямой BA (за исключением вырожденного случая, когда секущая проходит через B). Это означает, что угол $\angle CBD$ будет равен разности углов $\angle ABD$ и $\angle ABC$.

$\angle CBD = |\angle ABD - \angle ABC|$

5. Подставим в это выражение равенства, полученные из теоремы об угле между касательной и хордой:

$\angle CBD = |\angle(l, t_2) - \angle(l, t_1)|$

Разность углов, которые образует прямая $l$ с двумя другими прямыми $t_1$ и $t_2$, равна углу между этими двумя прямыми, то есть $\angle(t_1, t_2)$.

$\angle CBD = \angle(t_1, t_2)$

6. Угол $\angle(t_1, t_2)$ — это угол между двумя касательными к окружностям в точке их пересечения A. Поскольку положение окружностей зафиксировано, этот угол является постоянной величиной, не зависящей от выбора секущей $l$.

Таким образом, величина угла $\angle CBD$ не зависит от выбора секущей, проходящей через точку A. Она равна углу между окружностями в точке их пересечения A.

Ответ:

Величина угла $\angle CBD$ доказанно не зависит от выбора секущей, так как она равна постоянной величине — углу между касательными к данным окружностям в точке их пересечения A.