Номер 856, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

856. Прямые, проходящие через вершины $A$ и $B$ равных углов треугольника $ABC$, разделяют их пополам, пересекаются в точке $N$ и пересекают описанную около треугольника окружность в точках $K$ и $M$. Докажите, что четырехугольник $CKNM$ — ромб.

Пусть в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны: $ \angle CAB = \angle CBA $. Обозначим величину этих равных углов как $2\alpha$. Прямые, проходящие через вершины $A$ и $B$, являются биссектрисами этих углов. Обозначим их $AK$ и $BM$ соответственно.

По определению биссектрисы:
$ \angle CAK = \angle KAB = \frac{1}{2} \angle CAB = \alpha $
$ \angle CBM = \angle MBA = \frac{1}{2} \angle CBA = \alpha $

Биссектрисы $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $N$. Так как $N$ является точкой пересечения двух биссектрис треугольника, она является его инцентром (центром вписанной окружности). Следовательно, прямая $CN$ также является биссектрисой угла $ACB$. Обозначим $ \angle ACB = \gamma $. Тогда $ \angle ACN = \angle BCN = \frac{\gamma}{2} $. Из теоремы о сумме углов треугольника $ABC$ имеем: $ 2\alpha + 2\alpha + \gamma = 180^\circ $, или $ 4\alpha + \gamma = 180^\circ $.

Для доказательства того, что четырехугольник $CKNM$ является ромбом, необходимо установить равенство всех его четырех сторон: $CK = KN = NM = MC$.

Сравним стороны $CK$ и $CM$.
Точки $C$, $K$, $M$ лежат на описанной окружности треугольника $ABC$. Длины хорд $CK$ и $CM$ зависят от величин дуг, которые они стягивают. Величина дуги $ \cup CK $ определяется вписанным углом $ \angle CAK = \alpha $. Следовательно, градусная мера дуги $ \cup CK $ равна $ 2 \angle CAK = 2\alpha $. Величина дуги $ \cup CM $ определяется вписанным углом $ \angle CBM = \alpha $. Следовательно, градусная мера дуги $ \cup CM $ равна $ 2 \angle CBM = 2\alpha $. Поскольку дуги $ \cup CK $ и $ \cup CM $ равны, то равны и стягивающие их хорды: $ CK = CM $.

Докажем, что $KN = CK$.
Рассмотрим треугольник $KCN$. Докажем, что он равнобедренный, показав равенство углов $ \angle KCN $ и $ \angle KNC $. Найдем $ \angle KCN $:$ \angle KCN = \angle KCB + \angle BCN $. Угол $ \angle KCB $ — вписанный и опирается на дугу $ \cup KB $. Величина этой дуги определяется вписанным углом $ \angle KAB = \alpha $, значит, градусная мера $ \cup KB $ равна $2\alpha$. Тогда $ \angle KCB = \frac{1}{2} \cup KB = \alpha $. Поскольку $CN$ — биссектриса, $ \angle BCN = \frac{\gamma}{2} $. Следовательно, $ \angle KCN = \alpha + \frac{\gamma}{2} $. Найдем $ \angle KNC $. Этот угол является внешним для треугольника $ANC$. Его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$ \angle KNC = \angle NAC + \angle ACN $.$ \angle NAC = \angle KAC = \alpha $ и $ \angle ACN = \frac{\gamma}{2} $. Следовательно, $ \angle KNC = \alpha + \frac{\gamma}{2} $. Так как $ \angle KCN = \angle KNC $, треугольник $KCN$ является равнобедренным с основанием $CN$. Отсюда следует, что $KN = CK$.

Докажем, что $MN = CM$.
Рассмотрим треугольник $MCN$. Докажем, что он равнобедренный, показав равенство углов $ \angle MCN $ и $ \angle MNC $. Найдем $ \angle MCN $:$ \angle MCN = \angle MCA + \angle ACN $. Угол $ \angle MCA $ — вписанный и опирается на дугу $ \cup MA $. Величина этой дуги определяется вписанным углом $ \angle MBA = \alpha $, значит, градусная мера $ \cup MA $ равна $2\alpha$. Тогда $ \angle MCA = \frac{1}{2} \cup MA = \alpha $. Поскольку $CN$ — биссектриса, $ \angle ACN = \frac{\gamma}{2} $. Следовательно, $ \angle MCN = \alpha + \frac{\gamma}{2} $. Найдем $ \angle MNC $. Этот угол является внешним для треугольника $BNC$:$ \angle MNC = \angle NBC + \angle BCN $.$ \angle NBC = \angle MBC = \alpha $ и $ \angle BCN = \frac{\gamma}{2} $. Следовательно, $ \angle MNC = \alpha + \frac{\gamma}{2} $. Так как $ \angle MCN = \angle MNC $, треугольник $MCN$ является равнобедренным с основанием $CN$. Отсюда следует, что $MN = CM$.

Заключение.
Из полученных равенств $CK = CM$, $KN = CK$ и $MN = CM$ следует, что все стороны четырехугольника $CKNM$ равны между собой: $CK = KN = NM = MC$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Четырехугольник CKNM — ромб, что и требовалось доказать.