Номер 855, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

855. Докажите, что угол между высотой $AA_1$ треугольника $ABC$ и диаметром $AD$ описанной окружности равен разности углов $BCA$ и $ABC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высота $AA_1$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Обозначим величины углов треугольника как $\angle B = \angle ABC$ и $\angle C = \angle BCA$. Требуется доказать, что угол $\angle A_1AD$ равен $|\angle B - \angle C|$.

Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Треугольник $ABC$ — остроугольный.

Поскольку $AD$ является диаметром описанной окружности, то любой вписанный угол, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Рассмотрим треугольник $ACD$. Угол $\angle ACD$ опирается на диаметр $AD$, следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$.

Вписанные углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на одну и ту же дугу $AC$. Отсюда следует, что они равны: $\angle ADC = \angle ABC = \angle B$.

Из прямоугольного треугольника $ACD$ мы можем выразить угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - \angle B$.

Далее, рассмотрим высоту $AA_1$. По определению, $AA_1 \perp BC$, поэтому треугольник $AA_1C$ является прямоугольным ($\angle AA_1C = 90^\circ$). Из этого треугольника выразим угол $\angle CAA_1$:
$\angle CAA_1 = 90^\circ - \angle C$.

Искомый угол $\angle A_1AD$ представляет собой разность между углами $\angle CAD$ и $\angle CAA_1$, так как в остроугольном треугольнике лучи $AA_1$ и $AD$ лежат внутри угла $\angle BAC$. Величина угла $\angle A_1AD$ равна модулю этой разности:
$\angle A_1AD = |\angle CAD - \angle CAA_1| = |(90^\circ - \angle B) - (90^\circ - \angle C)| = |\angle C - \angle B|$.

Случай 2: Один из углов, например $\angle B$, — тупой.

В этом случае основание высоты $A_1$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Углы $\angle A$ и $\angle C$ при этом являются острыми.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. Угол при вершине $C$ в нем совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$. Следовательно, $\angle A_1AC = 90^\circ - \angle C$.

Как и в первом случае, треугольник $ACD$ является прямоугольным ($\angle ACD = 90^\circ$), так как опирается на диаметр $AD$.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. То есть, $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$, откуда $\angle ADC = 180^\circ - \angle B$.

Из прямоугольного треугольника $ACD$ находим угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - (180^\circ - \angle B) = \angle B - 90^\circ$.

При тупом угле $\angle B$ высота $AA_1$ и диаметр $AD$ оказываются по разные стороны от прямой $AC$. Следовательно, искомый угол $\angle A_1AD$ будет равен сумме углов $\angle A_1AC$ и $\angle CAD$:
$\angle A_1AD = \angle A_1AC + \angle CAD = (90^\circ - \angle C) + (\angle B - 90^\circ) = \angle B - \angle C$.

Поскольку $\angle B$ — тупой, а $\angle C$ — острый, то $\angle B > \angle C$, и полученная разность $\angle B - \angle C$ положительна и равна $|\angle B - \angle C|$.

Случай, когда тупым является угол $\angle C$, доказывается аналогично. Если же один из углов, $\angle B$ или $\angle C$, прямой, то утверждение также остается верным.

Таким образом, для любого треугольника $ABC$ угол между высотой $AA_1$ и диаметром $AD$ описанной окружности равен модулю разности углов $\angle B$ и $\angle C$.

Ответ: Утверждение доказано.