Номер 859, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

859. Через точку касания двух окружностей проходит прямая, пересекающая их еще в точках $A$ и $B$ (рис. 272). Докажите, что касательные к окружностям в точках $A$ и $B$ параллельны.

Рис. 272

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$, которые касаются в точке $T$. Пусть через точку $T$ проходит прямая $s$, которая пересекает окружность $\omega_1$ в точке $A$ и окружность $\omega_2$ в точке $B$. Обозначим касательную к окружности $\omega_1$ в точке $A$ как $l_A$, а касательную к окружности $\omega_2$ в точке $B$ как $l_B$. Требуется доказать, что $l_A \parallel l_B$.

Доказательство:

1. Проведем радиусы $O_1A$ и $O_1T$ в первой окружности и радиусы $O_2B$ и $O_2T$ во второй окружности. Точки $O_1$, $T$ и $O_2$ лежат на одной прямой — линии центров касающихся окружностей.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AT$. Так как $O_1A$ и $O_1T$ являются радиусами окружности $\omega_1$, то $O_1A = O_1T$. Следовательно, $\triangle O_1AT$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle O_1AT = \angle O_1TA$.

3. Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle O_2BT$. Так как $O_2B$ и $O_2T$ являются радиусами окружности $\omega_2$, то $O_2B = O_2T$. Следовательно, $\triangle O_2BT$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle O_2BT = \angle O_2TB$.

4. Углы $\angle O_1TA$ и $\angle O_2TB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением двух прямых: линии центров $O_1O_2$ и секущей $AB$. Следовательно, эти углы равны: $\angle O_1TA = \angle O_2TB$.

5. Из равенств, полученных в пунктах 2, 3 и 4, следует, что все четыре угла равны между собой:$\angle O_1AT = \angle O_1TA = \angle O_2TB = \angle O_2BT$. В частности, нас интересует равенство $\angle O_1AT = \angle O_2BT$.

6. Касательная $l_A$ в точке $A$ перпендикулярна радиусу $O_1A$, проведенному в точку касания. Это означает, что угол между прямой $l_A$ и прямой $O_1A$ равен $90^\circ$. Аналогично, касательная $l_B$ в точке $B$ перпендикулярна радиусу $O_2B$, то есть угол между $l_B$ и $O_2B$ также равен $90^\circ$.

7. Рассмотрим углы, которые касательные $l_A$ и $l_B$ образуют с секущей $s$ (прямой $AB$). Эти углы являются накрест лежащими. Найдем их величины. Угол между касательной $l_A$ и секущей $AB$ (обозначим его $\alpha_A$) и угол $\angle O_1AT$ являются острыми углами в прямоугольном треугольнике, образованном прямыми $l_A$, $O_1A$ и секущей $AB$. Точнее, угол $\alpha_A$ можно выразить как $90^\circ - \angle O_1AT$. Аналогично, угол между касательной $l_B$ и секущей $AB$ (обозначим его $\alpha_B$) равен $90^\circ - \angle O_2BT$.

8. Так как из пункта 5 мы знаем, что $\angle O_1AT = \angle O_2BT$, то отсюда следует, что $\alpha_A = \alpha_B$.

9. Углы $\alpha_A$ и $\alpha_B$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $l_A$ и $l_B$ секущей $AB$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $l_A$ и $l_B$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что касательные к окружностям в точках $A$ и $B$ параллельны.