Номер 860, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

860. Докажите, что точки пересечения пар соседних биссектрис выпуклого четырехугольника лежат на одной окружности.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим величины его внутренних углов при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Проведем биссектрисы внутренних углов четырехугольника. Пусть точки $E, F, G, H$ являются точками пересечения пар соседних биссектрис:

• $E$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle B$.
• $F$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle B$ и $\angle C$.
• $G$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle C$ и $\angle D$.
• $H$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle D$ и $\angle A$.

Эти четыре точки образуют новый четырехугольник $EFGH$. Нам нужно доказать, что точки $E, F, G, H$ лежат на одной окружности. Для этого достаточно показать, что четырехугольник $EFGH$ является вписанным, то есть сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle HEF + \angle FGH = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Его углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов четырехугольника $ABCD$, так как $AE$ и $BE$ — биссектрисы:

$\angle EAB = \frac{\alpha}{2}$

$\angle EBA = \frac{\beta}{2}$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle AEB$ равен:

$\angle AEB = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Угол $\angle HEF$ четырехугольника $EFGH$ равен углу $\angle AEB$.

$\angle HEF = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Аналогично, рассмотрев треугольник $CDG$, найдем противолежащий угол $\angle FGH$. Угол $\angle FGH$ равен углу $\angle CGD$:

$\angle FGH = \angle CGD = 180^\circ - (\frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2}) = 180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2}$

Теперь найдем сумму противолежащих углов $\angle HEF$ и $\angle FGH$:

$\angle HEF + \angle FGH = (180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}) + (180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2})$

$\angle HEF + \angle FGH = 360^\circ - \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2}$

Так как сумма углов четырехугольника $ABCD$ равна $360^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:

$\angle HEF + \angle FGH = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $EFGH$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Это означает, что все его вершины $E, F, G, H$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки пересечения пар соседних биссектрис выпуклого четырехугольника лежат на одной окружности.