Номер 868, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

868. Хорда пересекает диаметр под углом $30^\circ$ и разделяет его на отрезки длинами 3 см и 23 см. Найдите длину хорды.

Пусть в окружности с центром в точке $O$ хорда $CD$ пересекает диаметр $AB$ в точке $P$. По условию, угол между ними равен $30^\circ$, а отрезки, на которые делится диаметр, равны $3$ см и $23$ см.

1. Найдем длину диаметра и радиус окружности.
Длина диаметра $D$ равна сумме длин его отрезков:
$D = 3 + 23 = 26$ см.
Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Найдем расстояние от центра окружности $O$ до точки пересечения $P$.
Центр $O$ является серединой диаметра $AB$, поэтому расстояние от центра до любого из концов диаметра равно радиусу: $AO = BO = 13$ см. Точка $P$ делит диаметр на отрезки $AP=3$ см и $PB=23$ см. Расстояние от центра до точки пересечения $P$ равно:
$OP = AO - AP = 13 - 3 = 10$ см (или $OP = PB - BO = 23 - 13 = 10$ см).

3. Найдем расстояние от центра $O$ до хорды $CD$.
Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OH$ к хорде $CD$. Длина этого перпендикуляра и есть искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHP$ (угол $\angle OHP = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $OP = 10$ см, а один из острых углов $\angle OPH = 30^\circ$ (по условию задачи). Катет $OH$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$OH = OP \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

4. Найдем длину хорды $CD$.
Соединим центр $O$ с точкой $C$ на окружности. Получим прямоугольный треугольник $\triangle OHC$ (угол $\angle OHC = 90^\circ$). Гипотенуза $OC$ этого треугольника является радиусом окружности ($OC = R = 13$ см), а катет $OH = 5$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $CH$:
$OC^2 = OH^2 + CH^2$
$13^2 = 5^2 + CH^2$
$169 = 25 + CH^2$
$CH^2 = 169 - 25 = 144$
$CH = \sqrt{144} = 12$ см.

По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности, делит хорду пополам. Значит, $H$ — середина хорды $CD$, и ее полная длина равна:
$CD = 2 \cdot CH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.