Номер 871, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

871. Радиусы двух окружностей относятся как $3 : 5$. Если бы эти окружности касались внутренним образом, то расстояние между их центрами было бы равно 12 см. Установите, как располагались бы такие окружности, если бы расстояние между их центрами было равно:

a) 48 см;

б) 10 см;

в) 40 см;

г) 50 см.

Пусть радиусы двух окружностей равны $r_1$ и $r_2$. По условию, их отношение $r_1 : r_2 = 3 : 5$. Пусть $r_1 = 3k$ и $r_2 = 5k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, и $r_2$ — радиус большей окружности.

При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно разности их радиусов. По условию, это расстояние равно 12 см.

Составим уравнение:

$d = r_2 - r_1$

$12 = 5k - 3k$

$12 = 2k$

$k = 6$

Теперь найдем радиусы окружностей:

$r_1 = 3k = 3 \cdot 6 = 18$ см.

$r_2 = 5k = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Для определения взаимного расположения окружностей сравним расстояние между их центрами $d$ с суммой и разностью их радиусов:

• Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 18 + 30 = 48$ см. Это расстояние соответствует внешнему касанию.
• Разность радиусов: $r_2 - r_1 = 30 - 18 = 12$ см. Это расстояние соответствует внутреннему касанию.

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Расстояние между центрами $d = 48$ см.
Поскольку $d = r_1 + r_2$ ($48 \text{ см} = 48 \text{ см}$), окружности касаются внешним образом.
Ответ: окружности касаются внешним образом.

б) Расстояние между центрами $d = 10$ см.
Поскольку $d < r_2 - r_1$ ($10 \text{ см} < 12 \text{ см}$), одна окружность находится внутри другой, и они не пересекаются.
Ответ: одна окружность находится внутри другой, и они не пересекаются.

в) Расстояние между центрами $d = 40$ см.
Поскольку $r_2 - r_1 < d < r_1 + r_2$ ($12 \text{ см} < 40 \text{ см} < 48 \text{ см}$), окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: окружности пересекаются.

г) Расстояние между центрами $d = 50$ см.
Поскольку $d > r_1 + r_2$ ($50 \text{ см} > 48 \text{ см}$), окружности расположены одна вне другой и не пересекаются.
Ответ: окружности расположены одна вне другой и не пересекаются.