Номер 869, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

869. Две хорды, выходящие из одной точки и образующие угол $120^\circ$, проходят на расстояниях 11 см и 13 см от центра. Найдите радиус круга и длину каждой хорды.

Пусть в окружности с центром $O$ и радиусом $R$ из точки $A$ проведены две хорды $AB$ и $AC$. Угол между ними $\angle BAC = 120^\circ$.

Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляры $OM$ на $AB$ и $ON$ на $AC$. По условию, их длины равны 11 см и 13 см. Пусть $OM = 11$ см и $ON = 13$ см.

Рассмотрим четырехугольник $OMAN$. Так как $OM \perp AB$ и $ON \perp AC$, то углы $\angle OMA$ и $\angle ONA$ — прямые, то есть $\angle OMA = \angle ONA = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, поэтому:

$\angle MON + \angle ONA + \angle NAM + \angle OMA = 360^\circ$

$\angle MON + 90^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

$\angle MON = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$. Таким образом, $AB = 2 \cdot AM$ и $AC = 2 \cdot AN$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONA$. В них гипотенуза $OA$ является радиусом $R$ окружности. По теореме Пифагора:

$AM^2 = OA^2 - OM^2 = R^2 - 11^2 = R^2 - 121$

$AN^2 = OA^2 - ON^2 = R^2 - 13^2 = R^2 - 169$

Для нахождения радиуса воспользуемся двумя треугольниками: $\triangle OMN$ и $\triangle AMN$.

1. В треугольнике $\triangle OMN$ известны две стороны ($OM=11$, $ON=13$) и угол между ними ($\angle MON = 60^\circ$). По теореме косинусов найдем квадрат стороны $MN$:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\angle MON)$

$MN^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos(60^\circ) = 121 + 169 - 2 \cdot 143 \cdot \frac{1}{2} = 290 - 143 = 147$.

2. В треугольнике $\triangle AMN$ известен угол $\angle MAN = 120^\circ$. Применим теорему косинусов к этому треугольнику:

$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos(120^\circ)$

$MN^2 = (R^2 - 121) + (R^2 - 169) - 2 \sqrt{R^2 - 121} \sqrt{R^2 - 169} \cdot (-\frac{1}{2})$

$MN^2 = 2R^2 - 290 + \sqrt{(R^2 - 121)(R^2 - 169)}$

3. Приравняем полученные выражения для $MN^2$:

$147 = 2R^2 - 290 + \sqrt{R^4 - 290R^2 + 20449}$

$437 - 2R^2 = \sqrt{R^4 - 290R^2 + 20449}$

Возведем обе части в квадрат. При этом необходимо учесть условие $437 - 2R^2 \ge 0$, то есть $R^2 \le 218.5$.

$(437 - 2R^2)^2 = R^4 - 290R^2 + 20449$

$190969 - 1748R^2 + 4R^4 = R^4 - 290R^2 + 20449$

$3R^4 - 1458R^2 + 170520 = 0$

Разделим уравнение на 3: $R^4 - 486R^2 + 56840 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $x = R^2$: $x^2 - 486x + 56840 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-486)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56840 = 236196 - 227360 = 8836 = 94^2$.

Корни уравнения для $x$: $x_{1,2} = \frac{486 \pm 94}{2}$.

$x_1 = \frac{486 + 94}{2} = 290$

$x_2 = \frac{486 - 94}{2} = 196$

Проверим корни по условию $x = R^2 \le 218.5$. Корень $x_1 = 290$ является посторонним, так как $290 > 218.5$. Корень $x_2 = 196$ удовлетворяет условию, так как $196 < 218.5$.

Следовательно, $R^2 = 196$, откуда $R = \sqrt{196} = 14$ см.

Ответ: 14 см.

Зная радиус $R = 14$ см, мы можем найти длины половин хорд $AM$ и $AN$, а затем и полные длины хорд $AB$ и $AC$.

Для хорды, расстояние до которой от центра равно 11 см:

$AM = \sqrt{R^2 - 11^2} = \sqrt{14^2 - 11^2} = \sqrt{196 - 121} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Длина этой хорды: $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Для хорды, расстояние до которой от центра равно 13 см:

$AN = \sqrt{R^2 - 13^2} = \sqrt{14^2 - 13^2} = \sqrt{196 - 169} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Длина этой хорды: $AC = 2 \cdot AN = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см и $6\sqrt{3}$ см.