Номер 874, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

874. Две хорды $AB$ и $CD$ круга пересекаются под углом $40^\circ30'$. Найдите дуги $AC$ и $BD$, учитывая, что они относятся как $2 : 7$.

Согласно теореме об угле между пересекающимися хордами, угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Угол между ними, по условию, равен $40^\circ30'$. Этот угол, например $\angle AMC$, и вертикальный ему угол $\angle DMB$ опираются на дуги $AC$ и $BD$.

Таким образом, мы можем записать формулу:

$\angle AMC = \frac{1}{2}(\text{◡}AC + \text{◡}BD)$

Переведем градусную меру угла в десятичный формат для удобства вычислений. Поскольку в одном градусе 60 минут, то $30' = 0.5^\circ$. Следовательно, $40^\circ30' = 40.5^\circ$.

Подставим известное значение угла в формулу:

$40.5^\circ = \frac{1}{2}(\text{◡}AC + \text{◡}BD)$

Отсюда найдем сумму градусных мер дуг $AC$ и $BD$:

$\text{◡}AC + \text{◡}BD = 2 \cdot 40.5^\circ = 81^\circ$

По условию задачи, дуги $AC$ и $BD$ относятся как $2 : 7$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусная мера дуги $AC$ будет равна $2x$, а градусная мера дуги $BD$ — $7x$.

Составим уравнение, используя найденную сумму дуг:

$2x + 7x = 81^\circ$

$9x = 81^\circ$

$x = \frac{81^\circ}{9} = 9^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

Градусная мера дуги $AC = 2x = 2 \cdot 9^\circ = 18^\circ$.

Градусная мера дуги $BD = 7x = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$.

Ответ: дуга $AC = 18^\circ$, дуга $BD = 63^\circ$.