Номер 879, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

879. Две окружности касаются внешним образом, угол между их общей внешней касательной и общей внутренней касательной равен $60^\circ$. Найдите отношение радиусов окружностей.

Пусть $R$ и $r$ — радиусы двух окружностей, причем для определенности будем считать, что $R \ge r$. Центры окружностей обозначим $O_1$ и $O_2$ соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R+r$.

1. Анализ общих касательных.

Рассмотрим общие касательные и их расположение относительно линии центров $O_1O_2$.

Общая внутренняя касательная: Для двух окружностей, касающихся внешним образом в точке $K$, существует единственная общая внутренняя касательная. Эта касательная проходит через точку касания $K$ и перпендикулярна линии центров $O_1O_2$. Таким образом, угол между общей внутренней касательной и линией центров составляет $90^\circ$.

Общая внешняя касательная: Пусть общая внешняя касательная пересекает линию центров $O_1O_2$ под некоторым острым углом $\alpha$. Линия центров является осью симметрии для пары внешних касательных.

2. Использование условия об угле между касательными.

По условию, угол между общей внешней касательной и общей внутренней касательной равен $60^\circ$.

Пусть $L$ - линия центров $O_1O_2$.

Пусть $l_{внеш}$ - общая внешняя касательная.

Пусть $l_{внутр}$ - общая внутренняя касательная.

Мы установили, что $l_{внутр} \perp L$. Угол между $l_{внутр}$ и $L$ равен $90^\circ$.

Угол между $l_{внеш}$ и $L$ равен $\alpha$.

Поскольку $l_{внутр}$ перпендикулярна $L$, угол между $l_{внеш}$ и $l_{внутр}$ связан с углом $\alpha$ соотношением: $90^\circ - \alpha$.

Из условия задачи:$90^\circ - \alpha = 60^\circ$Отсюда находим угол $\alpha$:$\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Нахождение связи между радиусами.

Теперь найдем выражение для угла $\alpha$ через радиусы $R$ и $r$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания $A$ и $B$ на общей внешней касательной. Эти радиусы перпендикулярны касательной. Фигура $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией.

Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ к радиусу $O_1A$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle O_1HO_2$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $O_1O_2 = R+r$.
• Катет $O_1H = O_1A - HA = O_1A - O_2B = R-r$.
• Угол $\angle HO_2O_1$ равен углу $\alpha$ между внешней касательной (параллельной $O_2H$) и линией центров $O_1O_2$.

Из треугольника $\triangle O_1HO_2$ имеем:$\sin(\angle HO_2O_1) = \frac{O_1H}{O_1O_2}$$\sin(\alpha) = \frac{R-r}{R+r}$

Подставим найденное значение $\alpha = 30^\circ$:$\sin(30^\circ) = \frac{R-r}{R+r}$$\frac{1}{2} = \frac{R-r}{R+r}$

Решим полученное уравнение относительно $R$ и $r$:$1 \cdot (R+r) = 2 \cdot (R-r)$$R+r = 2R - 2r$$r + 2r = 2R - R$$3r = R$

Отсюда находим отношение радиусов:$\frac{R}{r} = 3$

Отношение большего радиуса к меньшему равно 3, а меньшего к большему — 1/3. Обычно под отношением понимают отношение большего к меньшему.

Ответ: 3 или 1/3.