Номер 878, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

878. Две окружности касаются внешним образом, их общие внешние касательные проходят через точки $B$ и $C$ одной окружности и точки $A$ и $D$ другой. Найдите отрезки $AB$ и $CD$, учитывая, что хорды $BC$ и $AD$ равны 10 см и 15 см.

Обозначим центры первой и второй окружностей как $O_1$ и $O_2$, а их радиусы как $r_1$ и $r_2$ соответственно. Пусть $AB$ и $CD$ — это отрезки общих внешних касательных между точками касания. В силу симметрии фигуры относительно линии центров $O_1O_2$, длины этих отрезков равны: $AB = CD$. Также, из-за симметрии, хорда $BC$ первой окружности и хорда $AD$ второй окружности перпендикулярны линии центров $O_1O_2$.

Рассмотрим четырехугольник $BADC$. Его основания $BC$ и $AD$ параллельны (так как оба перпендикулярны $O_1O_2$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны. Следовательно, $BADC$ — равнобокая трапеция.

1. Нахождение соотношения между радиусами

Общие внешние касательные пересекаются в точке $P$, которая лежит на линии центров $O_1O_2$. Эта точка является центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению радиусов. Гомотетия с центром $P$ переводит хорду $BC$ в хорду $AD$. Следовательно, отношение длин этих хорд равно коэффициенту гомотетии:

$k = \frac{AD}{BC} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение радиусов окружностей также равно $3/2$:

$\frac{r_2}{r_1} = \frac{3}{2} \implies r_2 = \frac{3}{2}r_1$

2. Выражение длины касательной и высоты трапеции через радиусы

Длина отрезка общей внешней касательной к двум окружностям, касающимся внешне, вычисляется по формуле:

$L = AB = CD = 2\sqrt{r_1r_2}$

Подставим соотношение $r_2 = \frac{3}{2}r_1$:

$L = 2\sqrt{r_1 \cdot \frac{3}{2}r_1} = 2\sqrt{\frac{3}{2}r_1^2} = 2r_1\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = r_1\sqrt{6}$

Высота равнобокой трапеции $BADC$ может быть найдена через длину боковой стороны $L$ и длины оснований:

$h = \sqrt{L^2 - \left(\frac{AD-BC}{2}\right)^2} = \sqrt{L^2 - \left(\frac{15-10}{2}\right)^2} = \sqrt{L^2 - (2.5)^2} = \sqrt{L^2 - 6.25}$

Подставив $L=r_1\sqrt{6}$, получаем:

$h = \sqrt{(r_1\sqrt{6})^2 - 6.25} = \sqrt{6r_1^2 - 6.25}$

3. Нахождение радиусов окружностей

Высоту трапеции $h$ можно также выразить через расстояние между хордами $BC$ и $AD$. Пусть линия центров $O_1O_2$ является осью $x$. Поместим центр $O_1$ в точку $(-r_1, 0)$, а центр $O_2$ в точку $(r_2, 0)$. Точка касания окружностей находится в начале координат $(0,0)$.

Хорда $BC$ перпендикулярна оси $x$. Точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B)$. В силу симметрии, $y_B = BC/2 = 10/2 = 5$. Так как $B$ лежит на первой окружности, $(x_B+r_1)^2 + 5^2 = r_1^2$, откуда $x_B = -r_1 \pm \sqrt{r_1^2 - 25}$.

Аналогично для хорды $AD$, точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, где $y_A = AD/2 = 15/2 = 7.5$. Так как $A$ лежит на второй окружности, $(x_A-r_2)^2 + (7.5)^2 = r_2^2$, откуда $x_A = r_2 \pm \sqrt{r_2^2 - 56.25}$.

Прямая $AB$ является касательной к обеим окружностям. Это означает, что радиусы, проведенные в точки касания, $O_1B$ и $O_2A$, перпендикулярны этой прямой и, следовательно, параллельны друг другу. Запишем их как векторы:

$\vec{O_1B} = (x_B - (-r_1), 5) = (x_B+r_1, 5) = (\pm\sqrt{r_1^2 - 25}, 5)$

$\vec{O_2A} = (x_A - r_2, 7.5) = (\pm\sqrt{r_2^2 - 56.25}, 7.5)$

Из параллельности векторов следует пропорциональность их компонент:

$\frac{\pm\sqrt{r_1^2 - 25}}{\pm\sqrt{r_2^2 - 56.25}} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$

Это равенство выполняется, если знаки перед корнями одинаковы. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Оба знака "+".$x_B = -r_1 + \sqrt{r_1^2 - 25}$ и $x_A = r_2 + \sqrt{r_2^2 - 56.25}$. Высота трапеции $h = |x_A - x_B| = |(r_2+\sqrt{r_2^2-56.25}) - (-r_1+\sqrt{r_1^2-25})| = |r_1+r_2 + (\sqrt{r_2^2-56.25}-\sqrt{r_1^2-25})|$. Используя $r_2=1.5r_1$ и $\sqrt{r_2^2-56.25}=1.5\sqrt{r_1^2-25}$, получаем $h = |2.5r_1 + 0.5\sqrt{r_1^2-25}|$. Приравнивая к $h=\sqrt{6r_1^2-6.25}$ и решая уравнение, приходим к противоречию ($0.5r_1 + 2.5\sqrt{r_1^2-25}=0$, что невозможно для $r_1>0$).

Случай 2: Оба знака "–".$x_B = -r_1 - \sqrt{r_1^2 - 25}$ и $x_A = r_2 - \sqrt{r_2^2 - 56.25}$. Высота $h = |x_A - x_B| = |(r_2-\sqrt{r_2^2-56.25}) - (-r_1-\sqrt{r_1^2-25})| = |r_1+r_2 - (\sqrt{r_2^2-56.25}-\sqrt{r_1^2-25})|$.$h = |2.5r_1 - 0.5\sqrt{r_1^2-25}|$. Приравниваем выражения для высоты:$\sqrt{6r_1^2 - 6.25} = |2.5r_1 - 0.5\sqrt{r_1^2-25}|$Возводим обе части в квадрат:$6r_1^2 - 6.25 = (2.5r_1 - 0.5\sqrt{r_1^2-25})^2$$6r_1^2 - 6.25 = 6.25r_1^2 - 2.5r_1\sqrt{r_1^2-25} + 0.25(r_1^2-25)$$6r_1^2 - 6.25 = 6.25r_1^2 - 2.5r_1\sqrt{r_1^2-25} + 0.25r_1^2 - 6.25$$6r_1^2 = 6.5r_1^2 - 2.5r_1\sqrt{r_1^2-25}$$2.5r_1\sqrt{r_1^2-25} = 0.5r_1^2$Так как $r_1 \neq 0$, делим на $0.5r_1$:$5\sqrt{r_1^2-25} = r_1$Возводим в квадрат:$25(r_1^2-25) = r_1^2$$25r_1^2 - 625 = r_1^2$$24r_1^2 = 625$$r_1^2 = \frac{625}{24} \implies r_1 = \sqrt{\frac{625}{24}} = \frac{25}{2\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{12}$ см.

4. Нахождение длин отрезков AB и CD

Теперь, зная $r_1$, мы можем найти искомую длину $L$:

$L = r_1\sqrt{6} = \frac{25\sqrt{6}}{12} \cdot \sqrt{6} = \frac{25 \cdot 6}{12} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Таким образом, длины отрезков $AB$ и $CD$ равны 12.5 см.

Ответ: $AB = 12.5$ см, $CD = 12.5$ см.