Номер 884, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

884. Найдите меньший из углов прямоугольного треугольника, учитывая, что угол между прямыми, проведенными через вершину прямого угла и центры описанной и вписанной окружностей, равен $\alpha$ (рис. 281).

Рис. 281

Пусть дан прямоугольный треугольник, острые углы которого равны $\beta_1$ и $\beta_2$, а прямой угол находится при вершине $C$. Тогда $\beta_1 + \beta_2 = 90^\circ$. Пусть $O$ — центр описанной окружности, а $I$ — центр вписанной окружности.

Центр описанной окружности $O$ прямоугольного треугольника является серединой его гипотенузы. Медиана $CO$, проведенная из вершины прямого угла, равна радиусу описанной окружности $R$, то есть $CO = AO = BO = R$. Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным, и его углы при основании $AC$ равны. Если $\angle A = \beta_1$, то $\angle OCA = \angle OAC = \beta_1$.

Центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, луч $CI$ является биссектрисой прямого угла $C$. Отсюда следует, что $\angle ACI = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

По условию, угол между прямыми $CO$ и $CI$ равен $\alpha$, то есть $\angle OCI = \alpha$. Этот угол представляет собой абсолютную разность между углами $\angle ACI$ и $\angle OCA$: $\alpha = |\angle ACI - \angle OCA|$

Подставив выражения для углов, получим: $\alpha = |45^\circ - \beta_1|$

Данное равенство раскрывается в двух вариантах:
1. $45^\circ - \beta_1 = \alpha$, откуда $\beta_1 = 45^\circ - \alpha$. Тогда второй острый угол $\beta_2 = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - (45^\circ - \alpha) = 45^\circ + \alpha$.
2. $-(45^\circ - \beta_1) = \alpha$, или $\beta_1 - 45^\circ = \alpha$, откуда $\beta_1 = 45^\circ + \alpha$. Тогда второй острый угол $\beta_2 = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - (45^\circ + \alpha) = 45^\circ - \alpha$.

В обоих случаях мы получаем, что острые углы треугольника равны $45^\circ - \alpha$ и $45^\circ + \alpha$. Так как $\alpha$ — это угол между двумя прямыми, его значение положительно ($\alpha > 0$). Следовательно, $45^\circ - \alpha$ всегда будет меньше, чем $45^\circ + \alpha$.

Таким образом, меньший из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ - \alpha$.

Ответ: $45^\circ - \alpha$.