Номер 905, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

905. Две вершины квадрата находятся на прямой $AC$, а две другие — на прямых $AB$ и $BC$. Высота треугольника $ABC$ равна 1 см, а его основание — 2 см. Найдите площадь квадрата.

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BH$, проведенной к этому основанию. По условию, длина основания $AC = 2$ см, а длина высоты $BH = 1$ см.

В этот треугольник вписан квадрат $KLMN$ таким образом, что две его вершины ($M$ и $N$) лежат на основании $AC$, а две другие вершины ($L$ и $K$) лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $KL = LM = MN = NK = x$.

Поскольку сторона квадрата $KL$ параллельна его стороне $MN$, а $MN$ лежит на прямой $AC$, то $KL \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $LBK$. Угол $\angle B$ у них общий. Так как $KL \parallel AC$, то углы $\angle BLK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $KL$ и $AC$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $LBK$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle LBK \sim \triangle ABC$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот. Основанием треугольника $ABC$ является $AC$, а его высотой — $BH$. Основанием треугольника $LBK$ является $KL$, а его высота — это отрезок высоты $BH$, который мы обозначим $BP$, где $P$ — точка пересечения $BH$ и $KL$.

Длина высоты $BH$ равна 1 см. Высота квадрата $LM$ (или $NK$) равна его стороне $x$. Так как $KL \parallel AC$, то расстояние между этими прямыми равно $x$. Это расстояние равно длине отрезка $PH$. Таким образом, $PH = x$.

Высота треугольника $LBK$ равна $BP = BH - PH$. Подставляя известные значения, получаем $BP = 1 - x$.

Теперь составим пропорцию из отношения оснований и высот подобных треугольников:

$\frac{KL}{AC} = \frac{BP}{BH}$

Подставим в эту пропорцию известные и выраженные через $x$ величины:

$\frac{x}{2} = \frac{1 - x}{1}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = 2(1 - x)$

$x = 2 - 2x$

$x + 2x = 2$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$ см.

Мы нашли длину стороны квадрата. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = x^2$.

$S = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{4}{9}$ см$^2$.