Номер 908, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

908. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна 10 см. Сторона $BC$ разделена на 5 долей, через точки деления параллельно $AM$ проведены прямые. Найдите отрезки этих прямых, расположенные внутри треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ дана медиана $AM$ длиной 10 см. Точка $M$ является серединой стороны $BC$.

Сторона $BC$ разделена на 5 равных частей. Обозначим точки деления $D_1, D_2, D_3, D_4$ так, что они расположены последовательно от точки $B$ к точке $C$. Тогда $BD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4C = \frac{1}{5}BC$.

Поскольку $M$ — середина $BC$, то $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. В долях отрезка $BC$ это составляет $BM = MC = 2.5 \cdot \frac{BC}{5}$. Это означает, что точки $D_1$ и $D_2$ лежат на отрезке $BM$, а точки $D_3$ и $D_4$ — на отрезке $MC$.

Через точки деления $D_1, D_2, D_3, D_4$ проведены прямые, параллельные медиане $AM$. Длины отрезков этих прямых, заключенных внутри треугольника, найдем с помощью рассмотрения подобных треугольников.

1. Отрезки, начинающиеся на стороне BM.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Прямые, проведенные через точки $D_1$ и $D_2$ параллельно $AM$, пересекают сторону $AB$.

• Для точки $D_1$: Прямая, параллельная $AM$, пересекает сторону $AB$ в точке $P_1$. Треугольник $BP_1D_1$ подобен треугольнику $BAM$ (так как $P_1D_1 \parallel AM$). Коэффициент подобия равен отношению сторон: $k_1 = \frac{BD_1}{BM} = \frac{BC/5}{BC/2} = \frac{2}{5}$. Следовательно, длина искомого отрезка $P_1D_1 = k_1 \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см.

• Для точки $D_2$: Прямая, параллельная $AM$, пересекает сторону $AB$ в точке $P_2$. Треугольник $BP_2D_2$ подобен треугольнику $BAM$. Коэффициент подобия равен: $k_2 = \frac{BD_2}{BM} = \frac{2 \cdot BC/5}{BC/2} = \frac{4}{5}$. Следовательно, длина искомого отрезка $P_2D_2 = k_2 \cdot AM = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8$ см.

2. Отрезки, начинающиеся на стороне MC.

Рассмотрим треугольник $CAM$. Прямые, проведенные через точки $D_3$ и $D_4$ параллельно $AM$, пересекают сторону $AC$.

• Для точки $D_3$: Прямая, параллельная $AM$, пересекает сторону $AC$ в точке $Q_3$. Треугольник $CQ_3D_3$ подобен треугольнику $CAM$. Коэффициент подобия равен $k_3 = \frac{CD_3}{CM}$. Длина отрезка $CD_3 = BC - BD_3 = BC - 3 \cdot \frac{BC}{5} = \frac{2}{5}BC$. Тогда $k_3 = \frac{2 \cdot BC/5}{BC/2} = \frac{4}{5}$. Следовательно, длина искомого отрезка $Q_3D_3 = k_3 \cdot AM = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8$ см.

• Для точки $D_4$: Прямая, параллельная $AM$, пересекает сторону $AC$ в точке $Q_4$. Треугольник $CQ_4D_4$ подобен треугольнику $CAM$. Коэффициент подобия равен $k_4 = \frac{CD_4}{CM}$. Длина отрезка $CD_4 = BC - BD_4 = BC - 4 \cdot \frac{BC}{5} = \frac{1}{5}BC$. Тогда $k_4 = \frac{BC/5}{BC/2} = \frac{2}{5}$. Следовательно, длина искомого отрезка $Q_4D_4 = k_4 \cdot AM = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см.

Ответ: длины отрезков, расположенных внутри треугольника, равны 4 см, 8 см, 8 см и 4 см.