Номер 904, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

904. Две вершины прямоугольника находятся на основании треугольника, равном 48 см, а две другие — на его боковых сторонах. Высота треугольника равна 16 см. Найдите периметр прямоугольника, учитывая, что:

а) его измерения относятся как 5 : 9;

б) его диагонали параллельны боковым сторонам треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC = 48$ см и высотой $BH = 16$ см. В треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на основании $AC$, а вершины $N$ и $M$ — на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим стороны прямоугольника: $a = KL = NM$ (длина) и $b = NK = ML$ (высота).

Проведем высоту $BH$ треугольника $ABC$. Она пересечет сторону $NM$ прямоугольника в точке $H'$. Треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ (так как $NM \parallel AC$). Высота треугольника $NBM$, проведенная из вершины $B$, равна $BH' = BH - HH' = 16 - b$.

Из подобия треугольников следует отношение их оснований и высот:

$\frac{NM}{AC} = \frac{BH'}{BH}$

Подставим известные значения:

$\frac{a}{48} = \frac{16-b}{16}$

Выразим $a$ через $b$:

$16a = 48(16-b)$

$a = 3(16-b)$

$a = 48 - 3b$

$a + 3b = 48$

Это основное соотношение между сторонами прямоугольника, которое мы будем использовать для решения обоих пунктов задачи.

а) его измерения относятся как 5 : 9;

Рассмотрим два возможных случая для отношения сторон прямоугольника.

Случай 1: Отношение высоты к длине равно $5 : 9$, то есть $\frac{b}{a} = \frac{5}{9}$, откуда $b = \frac{5}{9}a$.

Подставим это выражение в наше основное соотношение $a + 3b = 48$:

$a + 3(\frac{5}{9}a) = 48$

$a + \frac{5}{3}a = 48$

$\frac{8a}{3} = 48$

$a = \frac{48 \cdot 3}{8} = 18$ см.

Тогда $b = \frac{5}{9} \cdot 18 = 10$ см.

Периметр прямоугольника в этом случае равен $P = 2(a+b) = 2(18+10) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Случай 2: Отношение длины к высоте равно $5 : 9$, то есть $\frac{a}{b} = \frac{5}{9}$, откуда $a = \frac{5}{9}b$.

Подставим это выражение в соотношение $a + 3b = 48$:

$\frac{5}{9}b + 3b = 48$

$\frac{5b + 27b}{9} = 48$

$\frac{32b}{9} = 48$

$b = \frac{48 \cdot 9}{32} = \frac{3 \cdot 9}{2} = 13,5$ см.

Тогда $a = \frac{5}{9} \cdot 13,5 = \frac{5}{9} \cdot \frac{27}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7,5$ см.

Периметр прямоугольника в этом случае равен $P = 2(a+b) = 2(7,5+13,5) = 2 \cdot 21 = 42$ см.

Ответ: 56 см или 42 см.

б) его диагонали параллельны боковым сторонам треугольника.

Пусть диагональ $KM$ прямоугольника параллельна стороне $AB$ треугольника, а диагональ $NL$ параллельна стороне $BC$.

Рассмотрим угол $C$. Так как $KM \parallel AB$, то треугольник $MKC$ подобен треугольнику $BAC$. Из подобия следует отношение соответствующих сторон и высот. Высота $ML$ треугольника $MKC$ (проведенная из вершины $M$ к основанию $KC$) равна $b$. Соответствующая ей высота в треугольнике $BAC$ (из вершины $B$ к основанию $AC$) равна $BH=16$.

$\frac{KC}{AC} = \frac{ML}{BH}$

$\frac{KC}{48} = \frac{b}{16} \implies KC = \frac{48b}{16} = 3b$.

Теперь рассмотрим угол $A$. Так как $NL \parallel BC$, то треугольник $ANL$ подобен треугольнику $ABC$. Высота $NK$ треугольника $ANL$ (из вершины $N$ к основанию $AL$) равна $b$. Соответствующая ей высота в треугольнике $ABC$ (из вершины $B$ к основанию $AC$) равна $BH=16$.

$\frac{AL}{AC} = \frac{NK}{BH}$

$\frac{AL}{48} = \frac{b}{16} \implies AL = \frac{48b}{16} = 3b$.

Длина основания $AC$ состоит из отрезков $AK$, $KL$ и $LC$. При этом $AC = AK + KL + LC = 48$.

Мы можем выразить длину основания $AC$ через $AL$ и $KC$:$AC = AL + KC - KL$, так как отрезок $KL$ является общей частью отрезков $AL$ и $KC$ при их сложении.$48 = 3b + 3b - a$

$48 = 6b - a$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

1) $a + 3b = 48$

2) $-a + 6b = 48$

Сложим два уравнения:

$(a+3b) + (-a+6b) = 48+48$

$9b = 96 \implies b = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}$ см.

Подставим значение $b$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a + 3 \cdot \frac{32}{3} = 48$

$a + 32 = 48 \implies a = 16$ см.

Найдем периметр прямоугольника:

$P = 2(a+b) = 2(16 + \frac{32}{3}) = 2(\frac{48}{3} + \frac{32}{3}) = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3}$ см.

Ответ: $\frac{160}{3}$ см (или $53\frac{1}{3}$ см).