Номер 907, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

907. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см (рис. 288). Определите, на какие отрезки ее разделяют прямые, проходящие через одну из вершин и разделяющие на три доли высоту, проведенную к основанию.

Рис. 288

Решение:

Обозначим равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AB = BC = 10$ см — боковые стороны, а $AC$ — основание. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AC$, то есть $AH = HC$.

Из одной из вершин у основания, например из вершины $A$, проведены две прямые, которые пересекают высоту $BH$ в точках $M$ и $N$ и боковую сторону $BC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. По условию, эти прямые делят высоту $BH$ на три равные части. Пусть $NH = NM = MB = x$. Тогда $BH = 3x$. Будем считать, что точка $N$ находится ближе к основанию ($H$), а точка $M$ — ближе к вершине $B$. Таким образом, прямая $AP$ проходит через точку $N$, а прямая $AQ$ — через точку $M$.

Для нахождения длин отрезков, на которые точки $P$ и $Q$ делят сторону $BC$, воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $CBH$ и секущих $AQM$ и $APN$.

1. Нахождение положения точки Q.

Рассмотрим треугольник $CBH$ и секущую $AQM$. По теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице:

$\frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BM}{MH} \cdot \frac{HA}{AC} = 1$

Найдем значения отношений, входящих в формулу:

• Отношение отрезков на высоте: $MH = MN + NH = x + x = 2x$. Тогда $\frac{BM}{MH} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.
• Отношение отрезков на основании: так как $H$ — середина $AC$, то $AC = AH + HC = 2 \cdot AH$. Тогда $\frac{HA}{AC} = \frac{AH}{2AH} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$\frac{CQ}{QB} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CQ}{QB} = 4$, или $CQ = 4 \cdot QB$.

Так как $BC = BQ + QC = 10$ см, получаем:

$BQ + 4 \cdot BQ = 10 \Rightarrow 5 \cdot BQ = 10 \Rightarrow BQ = 2$ см.

Соответственно, $QC = 4 \cdot 2 = 8$ см.

2. Нахождение положения точки P.

Рассмотрим тот же треугольник $CBH$, но теперь с секущей $APN$. По теореме Менелая:

$\frac{CP}{PB} \cdot \frac{BN}{NH} \cdot \frac{HA}{AC} = 1$

Найдем значения отношений для этого случая:

• Отношение отрезков на высоте: $BN = BM + MN = x + x = 2x$. Тогда $\frac{BN}{NH} = \frac{2x}{x} = 2$.
• Отношение отрезков на основании остается тем же: $\frac{HA}{AC} = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в уравнение:

$\frac{CP}{PB} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CP}{PB} = 1$, или $CP = PB$.

Это означает, что точка $P$ является серединой стороны $BC$. Так как $BC = 10$ см, то:

$BP = PC = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Вычисление длин искомых отрезков.

Мы нашли положения точек $Q$ и $P$ на стороне $BC$. Точки расположены в порядке $B, Q, P, C$, так как $BQ = 2$ см, а $BP = 5$ см.

Сторона $BC$ разделена на три отрезка: $BQ$, $QP$ и $PC$. Найдем их длины:

• Длина отрезка $BQ = 2$ см.
• Длина отрезка $PC = 5$ см.
• Длина отрезка $QP = BP - BQ = 5 - 2 = 3$ см.

Проверка: $BQ + QP + PC = 2 + 3 + 5 = 10$ см, что соответствует длине стороны $BC$.

Ответ: Прямые разделяют боковую сторону на отрезки длиной 2 см, 3 см и 5 см.