Номер 919, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

919. Треугольник $ABC$ вписан в окружность с радиусом 12 см. Найдите радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с радиусом $R = 12$ см. Обозначим середины его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $D$, $E$ и $F$ соответственно. Требуется найти радиус окружности, проходящей через точки $D, E, F$. Эта окружность является описанной для треугольника $DEF$.

Треугольник $DEF$, образованный соединением середин сторон треугольника $ABC$, называется срединным треугольником. По теореме о средней линии треугольника, каждая сторона срединного треугольника параллельна одной из сторон исходного треугольника и равна ее половине:

$DE = \frac{1}{2}AB$

$EF = \frac{1}{2}BC$

$DF = \frac{1}{2}AC$

Из этого следует, что срединный треугольник $DEF$ подобен исходному треугольнику $ABC$ по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:

$k = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$

Для подобных треугольников отношение всех их соответствующих линейных элементов, включая радиусы описанных окружностей, равно коэффициенту подобия. Пусть $r$ — радиус окружности, описанной около $\triangle DEF$, а $R$ — радиус окружности, описанной около $\triangle ABC$. Тогда:

$\frac{r}{R} = k = \frac{1}{2}$

Зная, что $R = 12$ см, можем найти $r$:

$r = \frac{1}{2}R = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Таким образом, радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$, равен 6 см. Стоит отметить, что эта окружность известна как окружность девяти точек или окружность Эйлера, и ее радиус всегда равен половине радиуса описанной окружности исходного треугольника.

Ответ: 6 см.